(2024년 시행) 2025학년도 수능 (미적분) 30번 풀이

두 상수 a \: (1 \le a \le 2) , b 에 대하여 함수 f (x) = \sin (a x + b + \sin x) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) f (0) = 0 , f (2 \pi) = 2 \pi a + b (나) f ^{\prime}(0) = f ^{\prime}(t )인 양수 t 의 최솟값은 4 \pi 이다. 함수 f (x) 가 x = \alpha 에서 극대인 \alpha 의 값 중 열린구간 (0,\: 4 \pi) 에 속하는 모든 값의 집합을 A 라 하자. 집합 A 의 원소의 개수를 n , 집합 A 의 원소 중 가장 작은 값을 \alpha_{1} 이라 하면, n \alpha_{1}-a b = \dfrac{q}{p}\pi 이다. p + q 의 값을 구하시오. \left(\text{단},\: p\text{와}\: q\text{는 서로소인 자연수이다.}\right)