2025년 고3 3월 모의고사 (미적분) 28번 풀이

삼차함수 f(x)=ax^{3}+bx\:(a > 0) 이 다음 조건을 만족시킨다. 모든 실수 x 에 대하여 \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2x^{2n+2}+x^{n}+f(x)}{x^{2n}+x^{n}+1} 의 값이 존재한다. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 g(x) 를 g(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2x^{2n+2}+x^{n}+f(x)}{x^{2n}+x^{n}+1} 라 하자. 함수 y=g(x) 의 그래프와 직선 y=k 가 만나는 점의 개수가 1 이 되도록 하는 자연수 k 가 존재할 때, g\left(-\dfrac{1}{2}\right)\times g(2) 의 값은? \left(\text{단}, \:a, \:b\text{는 상수이다.}\right) ① 6\sqrt{3} ② 7\sqrt{3} ③ 8\sqrt{3} ④ 9\sqrt{3} ⑤ 10\sqrt{3}