2025년 고3 3월 모의고사 (미적분) 29번 풀이

그림과 같이 자연수 n\:(n \ge 2)에 대하여 중심이 \text{C}이고 반지름의 길이가 n인 원 O와 \overline{\text{AB}}=2를 만족시키는 원 O 위의 두 점 \text{A}, \text{B}가 있다. \angle\text{BAC}를 이등분하는 직선이 원 O와 만나는 점 중 \text{A}가 아닌 점을 \text{D}라 하자. 점 \text{B}를 포함하지 않는 호 \text{AD} 위의 점 \text{E}에 대하여 \overline{\text{BD}}:\overline{\text{DE}}=\sqrt{2}: 1일 때, 삼각형 \text{CDE}의 넓이를 S_{n}이라 하면 \lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4} n-\dfrac{S_{n}}{n}\right)=\dfrac{q}{p}\sqrt{3}이다. p+q의 값을 구하시오. \left(\text{단},\: p\text{와}\: q\text{는 서로소인 자연수이다.}\right)