2025년 고3 3월 모의고사 (미적분) 30번 풀이

함수 f(x) 는 0 \le x < 2 일 때 f(x)=x(2-x) 이고 모든 실수 x 에 대하여 f(x+2)=f(x) 이다. 공비가 r 인 등비수열 \left\{a_{n}\right\} 이 수렴하고 다음 조건을 만족시킨다. (가) r 은 유리수이다. (나) 함수 f(x) 가 x=a_{k} 에서 극값을 갖고 0 < a_{k} < 10 인 자연수 k 의 개수는 3 이다. \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{1} a_{n+1}+a_{2n}}{a_{n+1}+a_{n}}=\dfrac{81}{10} 일 때, a_{7}=\dfrac{q}{p} 이다. p+q 의 값을 구하시오. \left(\text{단},\:p\text{와}\:q\text{는 서로소인 자연수이다.}\right)