2025년 고1 6월 모의고사 (수학) 16번 풀이

두 실수 a\:(a > 2), b에 대하여 이차함수 y=x^{2}-(a+1) x+a의 그래프와 직선 y=bx-b가 한 점 \text{A}(1,\:0)에서만 만난다. 함수 y=x^{2}-(a+1) x+a의 그래프가 x축과 만나는 점 중 \text{A}가 아닌 점을 \text{B}, 함수 y=x^{2}-(a+1)x+a의 그래프가 y축과 만나는 점을 \text{C}, 직선 y=bx-b가 y축과 만나는 점을 \text{D}라 하자. 다음은 삼각형 \text{OAD}의 넓이를 \text{S}_{1}, 사각형 \text{ABCD}의 넓이를 S_{2}라 할 때, S_{1}: S_{2}=2: 7이 되도록 하는 a의 값을 구하는 과정이다. (단, \text{O}는 원점이다.)

이차함수 y=x^{2}-(a+1) x+a의 그래프가 직선 y=bx-b와 한 점 \text{A}에서만 만나므로 이차방정식 x^{2}-(a+b+1), x+a+b=0의 판별식 D=0이다.

삼각형 \text{OAD}의 넓이 S_{1}과 사각형 \text{ABCD}의 넓이 S_{2}를 a에 대한 식으로 나타내면

S_{1}=\boxed{\quad\left(\text{가}\right)\quad}, S_{2}=\boxed{\quad\left(\text{나}\right)\quad}이다.

따라서 S_{1}: S_{2}=2: 7이 되도록 하는 a의 값은 a=\boxed{\quad\left(\text{다}\right)\quad}이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(a), g(a)라 하고, (다)에 알맞은 수를 p라 할 때, f(5)+g(5)+p의 값은?

① \dfrac{27}{2}

② \dfrac{29}{2}

③ \dfrac{31}{2}

④ \dfrac{33}{2}

⑤ \dfrac{35}{2}