2025년 고2 6월 모의고사 (수학) 18번 풀이

그림과 같이 상수 a\:(a > 1)에 대하여 두 곡선 y=a^{ax}과 y=\dfrac{1}{a}\log _{a}\left(x-\dfrac{1}{a}\right) -\dfrac{1}{a}이 있다. 곡선 y=a^{ax} 위의 점 중 x좌표가 \dfrac{1}{a}보다 큰 점 \text{A}에 대하여 점 \text{A}를 지나고 기울기가 -1인 직선이 곡선 y=\dfrac{1}{a}\log _{a}\left(x-\dfrac{1}{a}\right) -\dfrac{1}{a}과 만나는 점을 \text{B}라 하자. 곡선 y=\dfrac{1}{a}\log _{a}\left(x-\dfrac{1}{a}\right) -\dfrac{1}{a}이 x축과 만나는 점을 \text{C}라 하고, 점 \text{C}를 지나고 기울기가 -1인 직선이 곡선 y=a^{ax}과 만나는 점을 \text{D}라 하자. 점 \text{A}의 x좌표와 점 \text{D}의 x좌표의 차가 \dfrac{1}{a}이고 직선 \text{AD}가 원점을 지날 때, 사각형 \text{ABCD}의 넓이는?

① \dfrac{35}{8}

② 5

③ \dfrac{45}{8}

④ \dfrac{25}{4}

⑤ \dfrac{55}{8}