Problem 20
(2025년 시행) 2026학년도 고3 6월 평가원 모의고사 (공통) 20번 풀이
문제
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)가 다음 조건을 만족시킨다.
0 \le x < 4일 때 f(x)=-x^{2}+4x이고, 모든 실수 x에 대하여 f(x+4)=f(x)이다.
방정식 f(f(x))=f(x)의 0 이상인 모든 실근을 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, n번째 수를 a_{n}이라 하자.
다음은 a_{20}+a_{21}+a_{22}의 값을 구하는 과정이다.
방정식 f(x)=x의 모든 실근이 0, 3이므로
방정식 f(f(x))=f(x)의 실근을 구하는 것은
방정식 f(x)\times(f(x) - 3)=0의 실근을 구하는 것과 같다.
0 \le x < 4일 때, 방정식 f(x)\times(f(x) - 3)=0의 모든 실근은 0, \boxed{\quad\left(\text{가}\right)\quad}, 3이므로 a_{1}=0, a_{2}=\boxed{\quad\left(\text{가}\right)\quad}, a_{3}=3
이다. 또한 모든 실수 x에 대하여 f(x+4)=f(x)이므로 세 수열 \left\{a_{3n-2}\right\}, \left\{a_{3n-1}\right\}, \left\{a_{3n}\right\}은 첫째항이 각각 0, \boxed{\quad\left(\text{가}\right)\quad}, 3이고 공차가 모두 \boxed{\quad\left(\text{나}\right)\quad}인 등차수열이다.
따라서 a_{20}+a_{21}+a_{22}=\boxed{\quad\left(\text{다}\right)\quad}이다.
위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p, q, r이라 할 때, p+q+r의 값을 구하시오.
정답
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