(2025년 시행) 2026학년도 고3 6월 평가원 모의고사 (공통) 20번 풀이

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x) 가 다음 조건을 만족시킨다. 0 \le x < 4 일 때 f(x)=-x^{2}+4x 이고, 모든 실수 x 에 대하여 f(x+4)=f(x) 이다. 방정식 f(f(x))=f(x) 의 0 이상인 모든 실근을 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, n 번째 수를 a_{n} 이라 하자. 다음은 a_{20}+a_{21}+a_{22} 의 값을 구하는 과정이다. 방정식 f(x)=x 의 모든 실근이 0 , 3 이므로 방정식 f(f(x))=f(x) 의 실근을 구하는 것은 방정식 f(x)\times(f(x) - 3)=0 의 실근을 구하는 것과 같다. 0 \le x < 4 일 때, 방정식 f(x)\times(f(x) - 3)=0 의 모든 실근은 0 , \boxed{\quad\left(\text{가}\right)\quad} , 3 이므로 a_{1}=0 , a_{2}=\boxed{\quad\left(\text{가}\right)\quad} , a_{3}=3 이다. 또한 모든 실수 x 에 대하여 f(x+4)=f(x) 이므로 세 수열 \left\{a_{3n-2}\right\} , \left\{a_{3n-1}\right\} , \left\{a_{3n}\right\} 은 첫째항이 각각 0 , \boxed{\quad\left(\text{가}\right)\quad} , 3 이고 공차가 모두 \boxed{\quad\left(\text{나}\right)\quad} 인 등차수열이다. 따라서 a_{20}+a_{21}+a_{22}=\boxed{\quad\left(\text{다}\right)\quad} 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p , q , r 이라 할 때, p+q+r 의 값을 구하시오.