(2025년 시행) 2026학년도 고3 6월 평가원 모의고사 (기하) 29번 풀이

그림과 같이 두 점 \text{F}(c,\:0), \text{F}^{\prime}(-c,\:0)\:(c > 0)을 초점으로 하는 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡선 위의 점 중 제 1사분면에 있는 점 \text{P}에 대하여 선분 \text{F}^{\prime}\text{P}가 y축과 만나는 점을 \text{Q}라 하고, 원점 \text{O}를 지나고 선분 \text{F}^{\prime}\text{P}와 평행한 직선이 이 쌍곡선과 만나는 점 중 제 1사분면에 있는 점을 \text{R}이라 하자.

\overline{\text{F}^{\prime}\text{Q}}=\overline{\text{QP}}, \overline{\text{OQ}}=2이고 삼각형 \text{PQR}의 넓이가 3일 때, 이 쌍곡선의 주축의 길이는 p+q\sqrt{13}이다.

p^{2}+q^{2}의 값을 구하시오. \left(\text{단}, \:p\text{와} \:q\text{는 유리수이다}.\right)