2025년 고3 7월 모의고사 (공통) 21번 풀이

함수 f(x)=-x^{2}+k x(k > 0) 의 그래프 위에 있는 제 1 사분면 위의 점 \text{A}(a,\:f(a))\:\left(a > \dfrac{k}{2}\right) 에서의 접선의 방정식을 y=g(x) 라 하고, 직선 y=g(x) 의 x 절편을 b 라 하자. 점 \text{A} 에서 x 축에 내린 수선의 발을 \text{H} 라 하고, 삼각형 \text{AOH} 의 넓이를 S 라 할 때, 두 함수 f(x) , g(x) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \displaystyle\int_{a}^{b} g(x) d x=S (나) \displaystyle\int_{0}^{a}\left\{f(x)-\dfrac{1}{2} a x\right\} d x=\dfrac{32}{3} g(-k) 의 값을 구하시오. \left(\text{단, O는 원점이고},\:k\text{는 상수이다.}\right)