Problem 20
(2025년 시행) 2026학년도 고3 9월 평가원 모의고사 (공통) 20번 풀이
문제
그림과 같이 사각형 \text{ABCD}가 한 원에 내접하고
\overline{\text{AB}}:\overline{\text{CD}}=1: 3, \overline{\text{BC}} < \overline{\text{AD}}일 때, 직선 \text{AB}와 직선 \text{CD}가 만나는 점을 \text{P}라 하자.
다음은 \overline{\text{PB}}:\overline{\text{PC}}:\overline{\text{BC}}=7: 5:\sqrt{14}이고 \overline{\text{AD}}=4\sqrt{13}일 때, 삼각형 \text{BPC}의 외접원의 반지름의 길이를 구하는 과정이다.
\angle\text{BPC}=\theta라 할 때, \overline{\text{PB}}:\overline{\text{PC}}:\overline{\text{BC}}=7: 5:\sqrt{14}이므로
삼각형 \text{BPC}에서 코사인법칙에 의하여 \cos\theta=\dfrac{6}{7}이다.
\overline{\text{PB}}:\overline{\text{PC}}=7: 5에서 \overline{\text{PB}}=7k, \overline{\text{PC}}=5k, \overline{\text{AB}}:\overline{\text{CD}}=1: 3에서 \overline{\text{AB}}=l, \overline{\text{CD}}=3l이라 하자.
원의 성질에 의하여
삼각형 \text{BPC}와 삼각형 \text{DPA}가 서로 닮음이므로
\overline{\text{PB}}:\overline{\text{PC}}=\overline{\text{PD}}:\overline{\text{PA}}이고, l =\boxed{\left(\text{가}\right)}\times k이다.
삼각형 \text{BPC}와 삼각형 \text{DPA}의 닮음비가 1: \boxed{\left(\text나\right)}이므로
\overline{\text{BC}}=\dfrac{1}{ \boxed{\left(\text나\right)}}\times\overline{\text{AD}}이다.
따라서 삼각형 \text{BPC}의 외접원의 반지름의 길이를 R이라 할 때, 삼각형 \text{BPC}에서 사인법칙에 의하여 R=\boxed{\left(\text{다}\right)}이다.
위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p, q, r이라 할 때, p+q+r의 값을 구하시오.
정답
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