(2025년 시행) 2026학년도 고3 9월 평가원 모의고사 (공통) 20번 풀이

그림과 같이 사각형 \text{ABCD} 가 한 원에 내접하고 \overline{\text{AB}}:\overline{\text{CD}}=1: 3 , \overline{\text{BC}} < \overline{\text{AD}} 일 때, 직선 \text{AB} 와 직선 \text{CD} 가 만나는 점을 \text{P} 라 하자. contenthub figure 다음은 \overline{\text{PB}}:\overline{\text{PC}}:\overline{\text{BC}}=7: 5:\sqrt{14} 이고 \overline{\text{AD}}=4\sqrt{13} 일 때, 삼각형 \text{BPC} 의 외접원의 반지름의 길이를 구하는 과정이다. \angle\text{BPC}=\theta 라 할 때, \overline{\text{PB}}:\overline{\text{PC}}:\overline{\text{BC}}=7: 5:\sqrt{14} 이므로 삼각형 \text{BPC} 에서 코사인법칙에 의하여 \cos\theta=\dfrac{6}{7} 이다. \overline{\text{PB}}:\overline{\text{PC}}=7: 5 에서 \overline{\text{PB}}=7k , \overline{\text{PC}}=5k , \overline{\text{AB}}:\overline{\text{CD}}=1: 3 에서 \overline{\text{AB}}=l , \overline{\text{CD}}=3l 이라 하자. 원의 성질에 의하여 삼각형 \text{BPC} 와 삼각형 \text{DPA} 가 서로 닮음이므로 \overline{\text{PB}}:\overline{\text{PC}}=\overline{\text{PD}}:\overline{\text{PA}} 이고, l =\boxed{\left(\text{가}\right)}\times k 이다. 삼각형 \text{BPC} 와 삼각형 \text{DPA} 의 닮음비가 1: \boxed{\left(\text나\right)} 이므로 \overline{\text{BC}}=\dfrac{1}{ \boxed{\left(\text나\right)}}\times\overline{\text{AD}} 이다. 따라서 삼각형 \text{BPC} 의 외접원의 반지름의 길이를 R 이라 할 때, 삼각형 \text{BPC} 에서 사인법칙에 의하여 R=\boxed{\left(\text{다}\right)} 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p , q , r 이라 할 때, p+q+r 의 값을 구하시오.