2025년 고3 10월 모의고사 (기하) 28번 풀이

좌표공간에 서로 평행한 두 평면 \alpha, \beta와 중심이 \text{O}이고 반지름의 길이가 \sqrt{13}인 구 S가 있다. 점 \text{O}에서 두 평면 \alpha, \beta에 내린 수선의 발을 각각 \text{H}_{1}, \text{H}_{2}라 하면 \overline{\text{OH}_{1}}=\overline{\text{OH}_{2}}=2이다. 구 S가 평면 \alpha와 만나서 생기는 원 위를 움직이는 점을 \text{P}, 구 S가 평면 \beta와 만나서 생기는 원 위를 움직이는 점을 \text{Q}라 하자.

삼각형 \text{POQ}의 평면 \beta 위로의 정사영의 넓이가 최대일 때, 평면 \text{POQ}와 평면 \beta가 이루는 각의 크기를 \theta라 하자. \cos\theta의 값은? \begin{aligned}& \left(\text{단, 세 점 O, P, Q는 한 직선 위에 있지 않고, 직선}\right.\\& \left. \text{PQ와 직선 H}_{1}\text{H}_{2}\text{는 서로 평행하지 않다}.\right)\end{aligned}

① \dfrac{2\sqrt{17}}{17}

② \dfrac{5\sqrt{17}}{34}

③ \dfrac{3\sqrt{17}}{17}

④ \dfrac{7\sqrt{17}}{34}

⑤ \dfrac{4\sqrt{17}}{17}