2025년 고3 10월 모의고사 (기하) 28번 풀이

좌표공간에 서로 평행한 두 평면 \alpha , \beta 와 중심이 \text{O} 이고 반지름의 길이가 \sqrt{13} 인 구 S 가 있다. 점 \text{O} 에서 두 평면 \alpha , \beta 에 내린 수선의 발을 각각 \text{H}_{1} , \text{H}_{2} 라 하면 \overline{\text{OH}_{1}}=\overline{\text{OH}_{2}}=2 이다. 구 S 가 평면 \alpha 와 만나서 생기는 원 위를 움직이는 점을 \text{P} , 구 S 가 평면 \beta 와 만나서 생기는 원 위를 움직이는 점을 \text{Q} 라 하자. 삼각형 \text{POQ} 의 평면 \beta 위로의 정사영의 넓이가 최대일 때, 평면 \text{POQ} 와 평면 \beta 가 이루는 각의 크기를 \theta 라 하자. \cos\theta 의 값은? \begin{aligned}& \left(\text{단, 세 점 O, P, Q는 한 직선 위에 있지 않고, 직선}\right.\\& \left. \text{PQ와 직선 H}_{1}\text{H}_{2}\text{는 서로 평행하지 않다}.\right)\end{aligned} contenthub figure ① \dfrac{2\sqrt{17}}{17} ② \dfrac{5\sqrt{17}}{34} ③ \dfrac{3\sqrt{17}}{17} ④ \dfrac{7\sqrt{17}}{34} ⑤ \dfrac{4\sqrt{17}}{17}