(2025년 시행) 2026학년도 수능 (공통) 20번 풀이

수열 \left\{a_{n}\right\} 이 다음 조건을 만족시킨다. • a_{1}=7 • 2 이상의 자연수 n 에 대하여 \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k}=\dfrac{2}{3} a_{n}+\dfrac{1}{6} n^{2}-\dfrac{1}{6} n+10 이다. 다음은 \displaystyle\sum_{k=1}^{12} a_{k}+\sum_{k=1}^{5} a_{2k+1} 의 값을 구하는 과정이다. 2 이상의 자연수 n 에 대하여 a_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} a_{k}-\sum_{k=1}^{n} a_{k} 이므로 a_{n+1}=\dfrac{2}{3}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)+\boxed{\quad\left(\text{가}\right)\quad} 이고, 이 식을 정리하면 2a_{n}+a_{n+1}=3\times\boxed{\quad\left(\text{가}\right)\quad}\quad\cdots\cdots ㉠ 이다. \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k}=\dfrac{2}{3} a_{n}+\dfrac{1}{6} n^{2}-\dfrac{1}{6} n+10\:(n \ge 2) 에서 양변에 n=2 를 대입하면 a_{2}=\boxed{\quad\left(\text{나}\right)\quad}\quad\cdots\cdots ㉡ 이다. ㉠과 ㉡에 의하여 \begin{aligned}\displaystyle\sum_{k=1}^{12} a_{k}+\sum_{k=1}^{5} a_{2k+1}&=a_{1}+a_{2}+\sum_{k=1}^{5}\left(2a_{2k+1}+a_{2k+2}\right) \\&=\boxed{\quad\left(\text{다}\right)\quad}\end{aligned} 이다. 위의 (가)에 알맞은 식을 f(n) 이라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p , q 라 할 때, \dfrac{p\times q}{f(12)} 의 값을 구하시오.