(2025년 시행) 2026학년도 수능 (공통) 20번 풀이

• a_{1}=7

• 2 이상의 자연수 n에 대하여

\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k}=\dfrac{2}{3} a_{n}+\dfrac{1}{6} n^{2}-\dfrac{1}{6} n+10

이다.

2 이상의 자연수 n에 대하여 a_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} a_{k}-\sum_{k=1}^{n} a_{k}이므로

a_{n+1}=\dfrac{2}{3}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)+\boxed{\quad\left(\text{가}\right)\quad}

이고, 이 식을 정리하면

2a_{n}+a_{n+1}=3\times\boxed{\quad\left(\text{가}\right)\quad}\quad\cdots\cdots ㉠

이다.

\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k}=\dfrac{2}{3} a_{n}+\dfrac{1}{6} n^{2}-\dfrac{1}{6} n+10\:(n \ge 2)

에서 양변에 n=2를 대입하면

a_{2}=\boxed{\quad\left(\text{나}\right)\quad}\quad\cdots\cdots ㉡

이다. ㉠과 ㉡에 의하여

\begin{aligned}\displaystyle\sum_{k=1}^{12} a_{k}+\sum_{k=1}^{5} a_{2k+1}&=a_{1}+a_{2}+\sum_{k=1}^{5}\left(2a_{2k+1}+a_{2k+2}\right) \\&=\boxed{\quad\left(\text{다}\right)\quad}\end{aligned}

이다.