2026년 고3 3월 모의고사 (미적분) 28번 풀이

함수 f(x)=\dfrac{1}{2} x^{3}-\dfrac{3}{2} x^{2}+5 가 있다. 두 자연수 p , q 에 대하여 함수 g(x) 를 g(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{2} px^{2}+\dfrac{1}{2} qx+5& (x < 0) \\5& (x \ge 0)\end{cases} 이라 하자. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 h(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(f(x))^{2n+1}+5^{2n}\times g(x)}{(f(x))^{2n}+5^{2n}} 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 자연수 k 의 개수가 7 이다. 자연수 n 에 대하여 직선 y=\left(k-\dfrac{1}{2^{n}}\right) x+5 가 함수 y=h(x) 의 그래프와 만나는 점의 개수를 a_{n} 이라 할 때, \lim\limits_{n\to\infty} a_{n}=4 이다. p+q+h(4) 의 값은? ① 38 ② 41 ③ 44 ④ 47 ⑤ 50