Problem 12

2026년 고3 3월 모의고사 (공통) 12번 풀이

2026년 고3 3월 모의고사 (공통) · 공개 문제 DB

문제

a_{1}=3, a_{2}=10인 수열 \left\{a_{n}\right\}과 모든 항이 양수인 등비수열 \left\{b_{n}\right\}이 모든 자연수 n에 대하여

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{a_{k}}{b_{k}+1}=n^{2}+n

을 만족시킨다. 다음은 \displaystyle\sum_{n=1}^{5}\dfrac{a_{n}}{n}의 값을 구하는 과정이다.

n=1일 때, \dfrac{a_{1}}{b_{1}+1}=2에서 b_{1}=\dfrac{1}{2}이다.

2 이상의 모든 자연수 n에 대하여

\dfrac{a_{n}}{b_{n}+1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{a_{k}}{b_{k}+1}-\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{a_{k}}{b_{k}+1}이므로

\dfrac{a_{n}}{b_{n}+1}=\boxed{\quad\text{(가)}\quad}\times n\quad\cdots\cdots ㉠

이다.

n=1일 때도 ㉠이 성립하므로 모든 자연수 n에 대하여

\dfrac{a_{n}}{n}=\boxed{\quad\text{(가)}\quad}\times\left(b_{n}+1\right)\quad\cdots\cdots ㉡

이다.

그러므로 등비수열 \left\{b_{n}\right\}의 공비는 \boxed{\quad\text{(나)}\quad}이다.

따라서 ㉡에 의하여 \displaystyle\sum_{n=1}^{5}\dfrac{a_{n}}{n}=\boxed{\quad\text{(다)}\quad}이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p, q, r이라 할 때, p+q+r의 값은?

① 136

② 137

③ 138

④ 139

⑤ 140

①

콴다조교에서 이 문항과 같은 유형의 유사문제, 변형문제, HWPX 시험지를 만들 수 있습니다.