2026년 고3 3월 모의고사 (공통) 12번 풀이

a_{1}=3 , a_{2}=10 인 수열 \left\{a_{n}\right\} 과 모든 항이 양수인 등비수열 \left\{b_{n}\right\} 이 모든 자연수 n 에 대하여 \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{a_{k}}{b_{k}+1}=n^{2}+n 을 만족시킨다. 다음은 \displaystyle\sum_{n=1}^{5}\dfrac{a_{n}}{n} 의 값을 구하는 과정이다. n=1 일 때, \dfrac{a_{1}}{b_{1}+1}=2 에서 b_{1}=\dfrac{1}{2} 이다. 2 이상의 모든 자연수 n 에 대하여 \dfrac{a_{n}}{b_{n}+1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{a_{k}}{b_{k}+1}-\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{a_{k}}{b_{k}+1} 이므로 \dfrac{a_{n}}{b_{n}+1}=\boxed{\quad\text{(가)}\quad}\times n\quad\cdots\cdots ㉠ 이다. n=1 일 때도 ㉠이 성립하므로 모든 자연수 n 에 대하여 \dfrac{a_{n}}{n}=\boxed{\quad\text{(가)}\quad}\times\left(b_{n}+1\right)\quad\cdots\cdots ㉡ 이다. 그러므로 등비수열 \left\{b_{n}\right\} 의 공비는 \boxed{\quad\text{(나)}\quad} 이다. 따라서 ㉡에 의하여 \displaystyle\sum_{n=1}^{5}\dfrac{a_{n}}{n}=\boxed{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p , q , r 이라 할 때, p+q+r 의 값은? ① 136 ② 137 ③ 138 ④ 139 ⑤ 140