2026년 고3 3월 모의고사 (기하) 30번 풀이

그림과 같이 두 점 \text{F}(c,\:0), \text{F}^{\prime}(-c,\:0) \:(c > 0)을 초점으로 하는 쌍곡선 \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{2a^{2}}=1이 있다. 이 쌍곡선의 꼭짓점 중 x좌표가 음수인 점을 \text{A}라 하고, 점 \text{F}^{\prime}을 지나고 x축에 수직인 직선이 이 쌍곡선과 만나는 점 중 제 2사분면에 있는 점을 \text{P}라 하자. 점 \text{A}에서 선분 \text{PF}에 내린 수선의 발을 \text{H}라 하자. 두 점 \text{A}, \text{F}를 초점으로 하고 점 \text{H}를 지나는 타원이 이 쌍곡선과 만나는 점 중 제 4사분면에 있는 점을 \text{Q}라 하자. \overline{\text{AQ}}+\overline{\text{F}^{\prime}\text{Q}}=6+8\sqrt{3}일 때, 이 타원의 장축의 길이는 p+q\sqrt{3}이다. p^{2}+q^{2}의 값을 구하시오. \left(\text{단},\:a\text{는 양수이고},\:p\text{와}\:q\text{는 유리수이다.}\right)