Problem 18
2026년 고2 6월 모의고사 (수학) 18번 풀이
문제
그림과 같이 두 원 C_{1}, C_{2}가 서로 다른 두 점 \text{P}, \text{Q}에서 만나고, 직선 l이 이 두 원과 동시에 접한다. 직선 l과 두 원 C_{1}, C_{2}의 접점을 각각 \text{A}, \text{B}라 할 때, \angle\text{QAB}=\theta_{1}, \angle\text{QBA}=\theta_{2}라 하자.
다음은 \overline{\text{AB}}=2, \sin\theta_{1}:\sin\theta_{2}=\sqrt{3}:\sqrt{2}이고, 삼각형 \text{PAB}의 외접원의 반지름의 길이가 \dfrac{3\sqrt{3}}{5}일 때, 선분 \text{QA}의 길이를 구하는 과정이다. (단, \angle\text{APB} < \angle\text{AQB})
원의 성질에 의하여
\angle\text{APQ}=\angle\text{QAB}, \angle\text{BPQ}=\angle\text{QBA}이므로 \angle\text{APB}=\theta_{1}+\theta_{2}이다. \angle\text{AQB}=\pi-\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)이고 \angle\text{APB} < \angle\text{AQB}이므로 \theta_{1}+\theta_{2} < \dfrac{\pi}{2}이다.
\overline{\text{AB}}=2이고 삼각형 \text{PAB}의 외접원의 반지름의 길이가 \dfrac{3\sqrt{3}}{5}이므로 삼각형 \text{PAB}에서 사인법칙에 의하여
\sin \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)=\boxed{\quad\left(\text{가}\right)\quad}
이다.
\sin\theta_{1}:\sin\theta_{2}=\sqrt{3}:\sqrt{2}이므로 삼각형 \text{QAB}에서 사인법칙에 의하여
\overline{\text{QB}}=\boxed{\quad\left(\text{나}\right)\quad}\times\overline{\text{QA}}
이다.
\angle\text{AQB}=\pi-\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right), \overline{\text{AB}}=2이므로 삼각형 \text{QAB}에서 코사인법칙에 의하여
\overline{\text{QA}}=\boxed{\quad\left(\text{다}\right)\quad}
이다.
위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p, q, r이라 할 때, p\times q\times r^{2}의 값은?
① \dfrac{20\sqrt{2}}{19}
② \dfrac{21\sqrt{2}}{19}
③ \dfrac{22\sqrt{2}}{19}
④ \dfrac{23\sqrt{2}}{19}
⑤ \dfrac{24\sqrt{2}}{19}
정답
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