Problem 20
(2026년 시행) 2027학년도 고3 6월 평가원 모의고사 (공통) 20번 풀이
문제
그림과 같이 1보다 큰 실수 b에 대하여
두 함수 f (x) = b ^{x}과 g (x) = - \log_{b}x의 그래프가 제 1사분면에서 만나는 점 \text{P}의 좌표를 (\alpha,\: \beta)라 하자.
다음은 \alpha \beta ^{3} = 1일 때, 직선 \text{OP}의 기울기 m에 대하여 g (m)의 값을 구하는 과정이다. (단, \text{O}는 원점이다.)
제 1사분면에 있는 점 \text{P}(\alpha,\: \beta)는 두 곡선
y = f (x), y = g (x)
위의 점이므로, 두 양수 \alpha, \beta가
\beta = b ^{\alpha}, \beta = - \log_{b}\alpha
를 만족시킨다.
\alpha \beta ^{3} = 1이고 \alpha = \log_{b}\beta, \beta = - \log_{b}\alpha이므로
3 \alpha - \beta = 3 \log_{b}\beta + \log_{b}\alpha = \log_{b}\left (\alpha \beta ^{3}\right) = 0
이다. 그러므로 m = \dfrac{\beta}{\alpha} = \boxed{\quad\text{(가)}\quad}이다.
\beta ^{4} = m \alpha \beta ^{3} = m이므로 \beta = \boxed{\quad\text{(나)}\quad}이다
b = \alpha ^{- \frac{1}{\beta}}이고 \alpha = \dfrac{\beta}{m}이므로
\begin{aligned} g (m) & = - \log_{b}m \\ & = \dfrac{\beta}{\log_{m}\alpha} \\ & = \dfrac{\beta}{-1 + \log_{m}\beta} \\ & = \boxed{\quad\text{(다)}\quad} \end{aligned}
이다.
위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p, q, r이라 할 때, (p \times q \times r) ^{2}의 값을 구하시오.
정답
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