(2026년 시행) 2027학년도 고3 6월 평가원 모의고사 20번 풀이

그림과 같이 1 보다 큰 실수 b 에 대하여 두 함수 f(x) = b^x 과 g(x) = -\log_b x 의 그래프가 제 1 사분면에서 만나는 점 \mathrm{P} 의 좌표를 (\alpha, \beta) 라 하자. 지수함수와 로그함수의 그래프 및 교점 P 다음은 \alpha \beta^3 = 1 일 때, 직선 \mathrm{OP} 의 기울기 m 에 대하여 g(m) 의 값을 구하는 과정이다. (단, \mathrm{O} 는 원점이다.) 제 1 사분면에 있는 점 \mathrm{P}(\alpha, \beta) 는 두 곡선 y=f(x), \quad y=g(x) 위의 점이므로, 두 양수 \alpha, \beta 가 \beta = b^\alpha, \quad \beta = -\log_b \alpha 를 만족시킨다. \alpha \beta^3 = 1 이고 \alpha = \log_b \beta, \beta = -\log_b \alpha 이므로 3\alpha - \beta = 3\log_b \beta + \log_b \alpha = \log_b (\alpha \beta^3) = 0 이다. 그러므로 m=\dfrac{\beta}{\alpha}=\boxed{\quad\text{(가)}\quad} 이다. \beta^4 = m\alpha \beta^3 = m 이므로 \beta=\boxed{\quad\text{(나)}\quad} 이다. b = \alpha^{-\frac{1}{\beta}} 이고 \alpha = \dfrac{\beta}{m} 이므로 g(m)=-\log_b m=\dfrac{\beta}{\log_m \alpha}=\dfrac{\beta}{-1+\log_m \beta}=\boxed{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p, q, r 이라 할 때, (p \times q \times r)^2 의 값을 구하시오. [ 4 점]