Problem 20
(2026년 시행) 2027학년도 고3 6월 평가원 모의고사 20번 풀이
문제
그림과 같이 1보다 큰 실수 b에 대하여 두 함수 f(x) = b^x과 g(x) = -\log_b x의 그래프가 제1사분면에서 만나는 점 \mathrm{P}의 좌표를 (\alpha, \beta)라 하자.
다음은 \alpha \beta^3 = 1일 때, 직선 \mathrm{OP}의 기울기 m에 대하여 g(m)의 값을 구하는 과정이다. (단, \mathrm{O}는 원점이다.)
제1사분면에 있는 점 \mathrm{P}(\alpha, \beta)는 두 곡선 y=f(x), \quad y=g(x) 위의 점이므로, 두 양수 \alpha, \beta가 \beta = b^\alpha, \quad \beta = -\log_b \alpha를 만족시킨다.
\alpha \beta^3 = 1이고 \alpha = \log_b \beta, \beta = -\log_b \alpha이므로 3\alpha - \beta = 3\log_b \beta + \log_b \alpha = \log_b (\alpha \beta^3) = 0이다. 그러므로m=\dfrac{\beta}{\alpha}=\boxed{\quad\text{(가)}\quad}이다.
\beta^4 = m\alpha \beta^3 = m이므로 \beta=\boxed{\quad\text{(나)}\quad}이다.
b = \alpha^{-\frac{1}{\beta}}이고 \alpha = \dfrac{\beta}{m}이므로g(m)=-\log_b m=\dfrac{\beta}{\log_m \alpha}=\dfrac{\beta}{-1+\log_m \beta}=\boxed{\quad\text{(다)}\quad}이다.
위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p, q, r이라 할 때, (p \times q \times r)^2의 값을 구하시오. [4점]
정답
48
비슷한 문제 만들기
콴다조교에서 이 문항과 같은 유형의 유사문제, 변형문제, HWPX 시험지를 만들 수 있습니다.
더 많은 모의고사 문제가 필요하신가요?
로그인 후 더 많은 모의고사 문제를 무료로 사용할 수 있습니다.
로그인하고 무료로 이용하기