2026년 고3 7월 모의고사 (미적분) 30번 풀이

a > 0 , b > 0 인 두 상수 a , b 에 대하여 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f (x) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 x 에 대하여 (f (x))^{3}+f (x)=\dfrac{a}{x^{2}+12}-bx-\dfrac{16}{3} b 이다. (나) 함수 f (x) 의 역함수가 존재하고, f^{\prime}(k)=0 인 실수 k 가 존재한다. 곡선 y=f (x) 와 직선 y=-bx 가 만나는 서로 다른 모든 점의 x 좌표의 합이 k+8 일 때, a\times b=\dfrac{q}{p} 이다. p+q 의 값을 구하시오. \left(\text{단},\: p\text{와}\: q\text{는 서로소인 자연수이다.}\right)