Problem 30
2026년 고3 7월 모의고사 (미적분) 30번 풀이
문제
a > 0, b > 0인 두 상수 a, b에 대하여 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f (x)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 모든 실수 x에 대하여
(f (x))^{3}+f (x)=\dfrac{a}{x^{2}+12}-bx-\dfrac{16}{3} b
이다.
(나) 함수 f (x)의 역함수가 존재하고, f^{\prime}(k)=0인 실수 k가 존재한다.
곡선 y=f (x)와 직선 y=-bx가 만나는 서로 다른 모든 점의 x좌표의 합이 k+8일 때, a\times b=\dfrac{q}{p}이다. p+q의 값을 구하시오. \left(\text{단},\: p\text{와}\: q\text{는 서로소인 자연수이다.}\right)
정답
$59$
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