2026년 고3 7월 모의고사 (공통) 20번 풀이

등차수열 \left\{a_{n}\right\} 의 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 S_{n} 이라 하자. 수열 \left\{b_{n}\right\} 은 모든 자연수 n 에 대하여 b_{n}=\begin{cases}2 \left(S_{n}-na_{n}\right)&\left (n\text{이 홀수인 경우}\right) \\ (n-1) a_{n}&\left (n\text{이 짝수인 경우}\right) \end{cases} 를 만족시킨다. 다음은 b_{2}=2 일 때, \displaystyle\sum_{n=1}^{20} b_{n} 의 값을 구하는 과정이다. 수열 \left\{a_{n}\right\} 이 등차수열이므로 자연수 n 에 대하여 S_{n}=\dfrac{n \left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}\quad\cdots\cdots ㉠ (ⅰ) n=2k-1 \:\left(k\text{는 자연수}\right) 일 때, ㉠에 의하여 \begin{aligned}b_{2k-1}&=2\times\left\{\dfrac{(2k-1)\left(a_{1}+a_{2k-1}\right)}{2}-(2k-1) a_{2k-1}\right\} \\&=\left(\boxed{\quad\left(\text{가}\right)\quad}\right)\times \left(a_{1}-a_{2k-1}\right)\end{aligned} (ⅱ) n=2k\:\left(k\text{는 자연수}\right) 일 때, b_{2k}=(2k-1) a_{2k} (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 \begin{aligned}b_{2k-1}+b_{2k}&=\left(\boxed{\quad\left(\text{가}\right)\quad}\right)\times\left(a_{1}-a_{2k-1}\right)\\&\qquad\qquad\qquad\qquad+(2k-1) a_{2k} \\&=\boxed{\quad\:\left(\text{나}\right)\quad}\quad\cdots\cdots ㉡\end{aligned} 이다. ㉡에 의하여 \begin{aligned}\displaystyle\sum_{n=1}^{20} b_{n}&=\left(b_{1}+b_{2}\right)+\left(b_{3}+b_{4}\right)+\cdots+\left(b_{19}+b_{20}\right) \\&=\boxed{\quad\left(\text{다}\right)\quad}\end{aligned} 이다. 위의 (가)와 (나)에 알맞은 식을 각각 f (k) , g (k) 라 하고, (다)에 알맞은 수를 p 라 할 때, f(2)+g(3)+p 의 값을 구하시오.