2026년 고3 7월 모의고사 (공통) 21번 풀이

두 양수 a , b 에 대하여 함수 f (x) 는 f (x)=\begin{cases}(x-a) (x-4)&\left(a \le x \le \dfrac{3}{2} a\right) \\ (x-a) (x-b)&\left(x < a\:\text{또는}\: x > \dfrac{3}{2} a\right)\end{cases} 이다. 양의 실수 t 에 대하여 x 에 대한 방정식 |f (x)|=t 의 서로 다른 실근의 개수를 g (t) 라 하자. 함수 g (t) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \lim\limits _{t\to 0+} g (t)=6 (나) 함수 g (t) 는 t=\alpha , t=\beta\: (\alpha \ne \beta ) 에서만 불연속이고, \lim\limits _{t\to\alpha +} g (t)=\lim\limits _{t\to\beta -} g (t)=1 이다. f (0)=p+q\sqrt{2} 일 때, p^{2}+q^{2} 의 값을 구하시오. \left(\text{단},\: p\text{와}\: q\text{는 유리수이다.}\right)