2026년 고3 7월 모의고사 (기하) 30번 풀이

공간에 \overline{\text{AB}} = 10 \sqrt{5} 인 선분 \text{AB} 를 지름으로 하는 구 S 가 있다. 구 S 위의 두 점 \text{C} , \text{D} 에 대하여 네 점 \text{A} , \text{B} , \text{C} , \text{D} 는 평면 \alpha 위에 있고, \overline{\text{AD}} = \overline{\text{BC}} = 10 이다. 구 S 위의 점 \text{P} 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 점 \text{P} 의 평면 \alpha 위로의 정사영은 선분 \text{BD} 위에 있다. (나) 평면 \text{PAD} 와 평면 \alpha 가 이루는 예각의 크기는 \dfrac{\pi}{4} 이다. 평면 \text{PAB} 와 평면 \text{PBC} 가 이루는 예각의 크기를 \theta 라 할 때, \cos ^{2}\theta = \dfrac{q}{p} 이다. p + q 의 값을 구하시오. \left(\text{단},\:\overline{\text{CD}} < \overline{\text{AB}}\text{이고},\: p\text{와}\: q\text{는 서로소인 자연수이다.}\right)