Problem 19

2026년 고1 9월 모의고사 19번 풀이

2026년 고1 9월 모의고사 · 공개 문제 DB

문제

최고차항의 계수가 양수인 이차함수 y=f(x)의 그래프가 x축과 만나는 두 점을 각각 \text{A}(4,\:0), \text{B}(a,\:0) (a > 4)라 하고, y축과 만나는 점을 \text{C}라 하자. 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=-x가 한 점 \text{P}에서만 만난다. 다음은 삼각형 \text{OPB}의 넓이를 S_1, 삼각형 \text{OPC}의 넓이를 S_2라 할 때, S_1=S_2가 되도록 하는 a의 값을 구하는 과정이다. (단, \text{O}는 원점이다.)

이차함수 f(x)의 최고차항의 계수를 k\:(k>0)이라 하면

f(x)=k(x-4)(x-a)

S_1=S_2이므로 직선 \text{BC}의 기울기는 \boxed{\quad\text{(가)}\quad}이다.

함수 y=f(x)의 그래프와 직선 \text{BC}가 두 점 \text{B}, \text{C}에서 만나므로 방정식 k(x-4)(x-a)=\boxed{\quad\text{(가)}\quad}\times(x-a)의 두 근은 0, a이다.

k=\boxed{\quad\text{(나)}\quad}

함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=-x가 한 점 \text{P}에서만 만나므로 x에 대한 이차방정식 \boxed{\quad\text{(나)}\quad}\times(x-4)(x-a)=-x는 중근을 갖는다.

따라서 a=\boxed{\quad\text{(다)}\quad}이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p, q, r이라 할 때, \dfrac{p+r}{q}의 값은?

① 60

② 64

③ 68

④ 72

⑤ 76

정답

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