Problem 18

2026년 고2 9월 모의고사 18번 풀이

2026년 고2 9월 모의고사 · 공개 문제 DB

문제

수열 \left\{a_n\right\}이 다음 조건을 만족시킨다.

• a_1=5

• 2 이상의 자연수 n에 대하여

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k=\dfrac{4}{5}a_n+2^n+3

이다.

다음은 \displaystyle \sum_{k=1}^{5}\left(a_{k+1}+4a_k\right)의 값을 구하는 과정이다.

2 이상의 자연수 n에 대하여

a_{n+1}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}a_k-\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k

이므로

a_{n+1}=\dfrac{4}{5}(a_{n+1}-a_n)+\boxed{\quad\text{(가)}\quad}

이고, 이 식을 정리하면

a_{n+1}+4a_n=5\times\boxed{\quad\text{(가)}\quad}\ (n\geq 2)\quad\cdots\cdots\:㉠

이다.

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k=\dfrac{4}{5}a_n-2^n+3\quad(n\geq 2)

에서 양변에 n=2를 대입하면

a_2=\boxed{\quad\text{(나)}\quad}\quad\cdots\cdots\:㉡

이다. ㉠과 ㉡에 의하여

\begin{aligned}\displaystyle \sum_{k=1}^{5}\left(a_{k+1}+4a_k\right)&=\left(a_2+4a_1\right)+\displaystyle \sum_{k=2}^{5}\left(a_{k+1}+4a_k\right)\\&=\boxed{\quad\text{(다)}\quad}\end{aligned}

이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 f(n)이라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p, q라 할 때, \dfrac{p+q}{f(2)}의 값은?

① 85

② 86

③ 87

④ 88

⑤ 89

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