(2026년 시행) 2027학년도 고3 9월 평가원 모의고사 (공통) 20번 풀이

0\leq x\leq 2\pi에서 정의된 두 함수

이 있다. 두 곡선 y=f(x)와 y=g(x)가 제1사분면에서 만나는 점을 \text{A}, 제4사분면에서 만나는 점을 \text{B}라 하자. 점 \text{A}를 지나고 x축에 평행한 직선이 곡선 y=g(x)와 만나는 점 중 \text{A}가 아닌 점을 \text{C}라 하고, 점 \text{B}를 지나고 x축에 평행한 직선이 곡선 y=g(x)와 만나는 점 중 \text{B}가 아닌 점을 \text{D}라 하자. 다음은

일 때, 상수 k의 값을 구하는 과정의 일부이다. (단, \text{O}는 원점이다.)

두 곡선 y=f(x)와 y=g(x)는 그림과 같다.

점 \text{A}의 x좌표를 a라 하면 두 점 \text{B}, \text{D}의 좌표는 다음과 같다.

\text{B}\left(\boxed{\text{(가)}},-\sin a\right),\quad\text{D}\left(\boxed{\text{(나)}},-\sin a\right)

삼각형 \text{CDB}의 넓이는

\dfrac{1}{2}\times\overline{\text{DB}}\times 2\sin a

이고,

(\text{삼각형 AOD의 넓이})=\dfrac{5}{14}\times(\text{삼각형 CDB의 넓이})

이므로 a=\boxed{\text{(다)}}이다. 따라서

k=-\tan\left(\boxed{\text{(라)}}\right)

이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 p(a), q(a)라 하고, (다)에 알맞은 수를 \alpha라 하자. 3\times\dfrac{p(\alpha)}{q(\alpha)}의 값을 구하시오.