Problem 28

2026년 고2 10월 모의고사 (수학) 28번 풀이

2026년 고2 10월 모의고사 (수학) · 공개 문제 DB

문제

수열 \{a_n\}의 일반항이 a_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}이다. 다음은 수열 \{b_n\}이 모든 자연수 n에 대하여

a_{n+1}+(n+2)\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_kb_k=-1

을 만족시킬 때, \displaystyle \sum_{k=1}^{10}b_k의 값을 구하는 과정이다.

(ⅰ) n=1일 때

a_2+3\displaystyle \sum_{k=1}^{1}a_kb_k=-1이므로 b_1=\boxed{\text{(가)}}

(ⅱ) n\geq 2일 때

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_kb_k=-\dfrac{1+a_{n+1}}{n+2}에서

a_nb_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_kb_k-\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}a_kb_k=a_n\times\boxed{\text{(나)}}

a_n\neq 0이므로 b_n=\boxed{\text{(나)}}

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

b_n=\begin{cases}\boxed{\text{(가)}} & (n=1)\\\boxed{\text{(나)}} & (n\geq 2)\end{cases}

따라서 \displaystyle \sum_{k=1}^{10}b_k=b_1+\displaystyle \sum_{k=2}^{10}b_k=\boxed{\text{(다)}}

(가), (다)에 알맞은 수를 각각 p, q라 하고, (나)에 알맞은 식을 f(n)이라 할 때, \dfrac{p\times q}{f(7)}의 값을 구하시오.

35

콴다조교에서 이 문항과 같은 유형의 유사문제, 변형문제, HWPX 시험지를 만들 수 있습니다.