2020년 고3 3월 모의고사 (나형)

1번 \lim\limits_{x\to 2 } \left( x ^ { 2 } + 5 \right) 의 값은? ① 5 ② 7 ③ 9 ④ 11 ⑤ 13 2번 방정식 \left( \dfrac { 1 } { 4 } \right) ^ { - x } = 64 를 만족시키는 실수 x 의 값은? ① -3 ② - \dfrac { 1 } { 3 } ③ \dfrac { 1 } { 3 } ④ 3 ⑤ 9 3번 \theta 가 제 3 사분면의 각이고 \cos \theta =-\dfrac{4}{5} 일 때, \tan \theta 의 값은? ① -\dfrac{4}{3} ② -\dfrac{3}{4} ③ 0 ④ \dfrac{3}{4} ⑤ \dfrac{4}{3} 4번 등차수열 \left\{a_{n}\right\} 에 대하여 a_{2}+a_{3}=2\left(a_{1}+12\right) 일 때, 수열 \left\{a_{n}\right\} 의 공차는? ① 2 ② 4 ③ 6 ④ 8 ⑤ 10 5번 \displaystyle\int _{5}^{2}2tdt-\displaystyle\int _{5}^{0}2tdt 의 값은? ① -4 ② -2 ③ 0 ④ 2 ⑤ 4 6번 모든 실수에서 연속인 함수 f(x) 가 (x-1)f(x)=x^{2}-3x+2 를 만족시킬 때, f(1) 의 값은? ① -2 ② -1 ③ 0 ④ 1 ⑤ 2 7번 0 \le x < 2\pi 일 때, 두 곡선 y=\cos \left(x-\dfrac{\pi}{2}\right) 와 y=\sin 4x 가 만나는 점의 개수는? ① 2 ② 4 ③ 6 ④ 8 ⑤ 10 8번 a > 1 인 실수 a 에 대하여 직선 y=-x 가 곡선 y=a^{x} 과 만나는 점의 좌표를 (p,\: -p) , 곡선 y=a^{2x} 과 만나는 점의 좌표를 (q,\: -q) 라 할 때, \log _{a}pq=-8 이다. p+2q 의 값은? ① 0 ② -2 ③ -4 ④ -6 9번 함수 f ( x ) = x ^ { 3 } - 2x ^ { 2 } + ax + 1 에 대하여 \lim\limits _{ h \to 0 } \dfrac { f ( 2 + h ) - f ( 2 ) } { h } = 9 일 때, 상수 a 의 값은? ① 1 ② 3 ③ 5 ④ 7 ⑤ 9 10번 그림은 16 개의 칸 중 3 개의 칸에 다음 규칙을 만족시키도록 수를 써 넣은 것이다. (가) 가로로 인접한 두 칸에서 오른쪽 칸의 수는 왼쪽 칸의 수의 2 배이다. (나) 세로로 인접한 두 칸에서 아래쪽 칸의 수는 위쪽 칸의 수의 2 배이다. contenthub figure 11번 등차수열 \left\{a_{n}\right\} , 등비수열 \left\{b_{n}\right\} 에 대하여 a_{1}=b_{1}=3 이고 b_{3}=-a_{2} , a_{2}+b_{2}=a_{3}+b_{3} 일 때, a_{3} 의 값은? ① -9 ② -3 ③ 0 ④ 3 ⑤ 9 12번 두 함수 y=f(x) , y=g(x) 의 그래프가 그림과 같다. contenthub figure <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보기> ㄱ. \lim\limits_{x\to1-}f(x)g(x)=-1 ㄴ. f(1)g(1)=0 ㄷ. 함수 f(x)g(x) 는 x=1 13번 최고차항의 계수가 1 인 이차함수 y = f ( x ) 의 그래프가 x 축에 접한다. 함수 g ( x ) = ( x - 3 ) f ^ { \prime } ( x ) 에 대하여 곡선 y = g ( x ) 가 y 축에 대하여 대칭일 때, f ( 0 ) 의 값은? ① 1 ② 4 ③ 14번 세 숫자 1 , 2 , 3 만을 사용하여 일곱 자리의 자연수를 만들 때, 세 숫자 1 , 2 , 3 을 모두 한 번 이상씩 사용하고 숫자 2 를 반드시 짝수 번째 자리에만 오도록 놓는 경우의 수를 구하려고 한다. 다음은 이것을 구하는 과정의 일부이다. 일곱 자리의 자연수를 만들 15번 수열 \left\{a_{n}\right\} 이 모든 자연수 n 에 대하여 a_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}ka_{k} 를 만족시킨다. a_{1}=2 일 때, a_{2}+\dfrac{a_{51}}{a_{50}} 의 값은? ① 47 ② 49 ③ 51 16번 그림과 같이 자연수 m 에 대하여 두 함수 y=3^{x} , y=\log _{2}x 의 그래프와 직선 y=m 이 만나는 점을 각각 A_{m} , B_{m} 이라 하자. 선분 A_{m}B_{m} 의 길이 중 자연수인 것을 작은 수부터 크기순으로 나열하여 a_{1} , a_{2}, 17번 등차수열 \left\{a_{n}\right\} 의 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 S_{n} 이라 하자. a_{3}=42 일 때, 다음 조건을 만족시키는 4 이상의 자연수 k 의 값은? (가) a_{k-3}+a_{k-1}=-24 (나) S_{k}=k^{2} ① 13 ② 14 ③ 18번 a > 0 인 상수 a 에 대하여 함수 f ( x ) =\left| \left( x ^ { 2 } - 9 \right) ( x + a ) \right| 가 오직 한 개의 x 값에서만 미분가능하지 않을 때, 함수 f ( x) 의 극댓값은? ① 32 ② 34 ③ 36 ④ 38 ⑤ 19번 길이가 각각 10 , a , b 인 세 선분 \text{AB} , \text{BC} , \text{CA} 를 각 변으로 하는 예각삼각형 \text{ABC} 가 있다. 삼각형 \text{ABC} 의 세 꼭짓점을 지나는 원의 반지름의 길이가 3\sqrt{5} 이고 \dfrac{a^ 20번 최고차항의 계수가 1 인 삼차함수 f ( x ) 에 대하여 함수 g ( x ) 를 g ( x ) = \displaystyle\int _{ 0 } ^ { x } f ( t ) dt + f ( x ) 라 할 때, 함수 g ( x ) 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 g ( 21번 이차함수 g ( x ) = x ^ { 2 } - 6x + 10 에 대하여 삼차함수 f ( x) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식 f ( x ) = 0 은 서로 다른 세 실근을 갖는다. (나) 함수 ( g \circ f ) ( x) 의 최솟값을 m 이라 할 때, 방정식 22번 \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { 5 } k ^ { 2 } 의 값을 구하시오. 23번 함수 f(x)=x^{4}+3x^{2}+9x-27 에 대하여 f^{\prime}(1) 의 값을 구하시오. 24번 그림과 같이 반지름의 길이가 같은 7 개의 원이 있다. contenthub figure 7 개의 원에 서로 다른 7 개의 색을 모두 사용하여 색칠하는 경우의 수를 구하시오. (단, 한 원에는 한 가지 색만 칠하고, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) 25번 10 \le x < 1000 인 실수 x 에 대하여 \log x^{3}-\log \dfrac{1}{x^{2}} 의 값이 자연수가 되도록 하는 모든 x 의 개수를 구하시오. 26번 최고차항의 계수가 1 이고 두 점 \text{A}(-2 ,\: 0) , \text{P}(t ,\: t+2) 를 지나는 이차함수 f(x) 가 있다. 함수 y=f(x) 의 그래프가 y 축과 만나는 점을 \text{Q} 라 할 때, \lim\limits _{t\to \infty}\l 27번 수직선 위를 움직이는 점 \text{P} 의 시각 t 에서의 속도 v ( t) 가 v ( t ) = 3t ^ { 2 } - 12t + 9 이다. 점 \text{P} 가 t = 0 일 때 원점을 출발하여 처음으로 운동 방향을 바꾼 순간의 위치를 \text{A} 라 하자. 점 \t 28번 자연수 a 에 대하여 두 함수 f ( x ) = - x ^ { 4 } - 2x ^ { 3 } - x ^ { 2 } , g ( x ) = 3x ^ { 2 } + a 가 있다. 다음을 만족시키는 a 의 값을 구하시오. 모든 실수 x 에 대하여 부등식 f ( x ) \le 12x + 29번 그림과 같이 예각삼각형 \text{ABC} 가 한 원에 내접하고 있다. \overline {\text{ AB }} = 6 이고, \angle \text{ABC} = \alpha 라 할 때 \cos\alpha = \dfrac { 3 } { 4 } 이다. 점 \text{A} 를 지 30번 닫힌구간 [ - 1,\:1 ] 에서 정의된 연속함수 f ( x ) 는 정의역에서 증가하고 모든 실수 x 에 대하여 f ( - x ) = - f ( x ) 가 성립할 때, 함수 g ( x ) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 닫힌구간 [ - 1,\:1 ] 에서 g ( x ) =