(2022년 시행) 2023학년도 고3 9월 평가원 모의고사 (공통)

1번 \left(\dfrac{2^{\sqrt{3}}}{2}\right)^{\sqrt{3}+1} 의 값은? ① \dfrac{1}{16} ② \dfrac{1}{4} ③ 1 ④ 4 ⑤ 16 2번 함수 f(x)=2x^{2}+5 에 대하여 \lim\limits _{x\to 2}\dfrac{f(x) - f(2)}{x-2} 의 값은? ① 8 ② 9 ③ 10 ④ 11 ⑤ 12 3번 \sin ( \pi - \theta ) = \dfrac { 5 } { 13 } 이고 \cos\theta < 0 일 때, \tan\theta 의 값은? ① - \dfrac { 12 } { 13 } ② - \dfrac { 5 } { 12 } ③ 0 ④ \dfrac { 5 } { 1 4번 함수 f(x)=\begin{cases}-2x+a&(x \le a)\\ax-6&(x > a)\end{cases} 가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 상수 a 의 값의 합은? ① -1 ② -2 ③ -3 ④ -4 ⑤ -5 5번 등차수열 \left\{ a _{ n }\right\} 에 대하여 a _{ 1 } = 2a _{ 5 } , a _{ 8 } + a _{ 12 } = - 6 일 때, a _{ 2 } 의 값은? ① 17 ② 19 ③ 21 ④ 23 ⑤ 25 6번 함수 f(x)=x^{3}-3x^{2}+k 의 극댓값이 9 일 때, 함수 f(x) 의 극솟값은? (단, k 는 상수이다.) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5 7번 수열 \left\{ a _{ n }\right\} 의 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 S _{ n } 이라 하자. S _{ n } = \dfrac { 1 } { n ( n + 1 ) } 일 때, \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { 10 } \left( S 8번 곡선 y = x ^ { 3 } - 4x + 5 위의 점 ( 1,\:2 ) 에서의 접선이 곡선 y = x ^ { 4 } + 3x + a 에 접할 때, 상수 a 의 값은? ① 6 ② 7 ③ 8 ④ 9 ⑤ 10 9번 닫힌구간 [ 0,\: 12 ] 에서 정의된 두 함수 f ( x ) = \cos \dfrac { \pi x } { 6 } , g ( x ) = - 3 \cos \dfrac { \pi x } { 6 } - 1 이 있다. 곡선 y = f ( x) 와 직선 y = k 가 만나는 두 점 10번 수직선 위의 점 \mathrm{A}(6) 과 시각 t=0 일 때 원점을 출발하여 이 수직선 위를 움직이는 점 \mathrm{P} 가 있다. 시각 t\:(t \ge 0) 에서의 점 \mathrm{P} 의 속도 v(t) 를 v(t)=3t^{2}+at\:(a > 0) 이라 하자. 시 11번 함수 f(x)=-(x-2)^{2}+k 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 자연수 n 의 개수가 2 일 때, 상수 k 의 값은? \sqrt{3}^{f(n)} 의 네제곱근 중 실수인 것을 모두 곱한 값이 -9 이다. ① 8 ② 9 ③ 10 ④ 11 ⑤ 12 12번 실수 t\:(t > 0) 에 대하여 직선 y=x+t 와 곡선 y=x^{2} 이 만나는 두 점을 \mathrm{A} , \mathrm{B} 라 하자. 점 \mathrm{A} 를 지나고 x 축에 평행한 직선이 곡선 y=x^{2} 과 만나는 점 중 \mathrm{A} 가 아닌 점을 13번 그림과 같이 선분 \mathrm{AB} 를 지름으로 하는 반원의 호 \mathrm{AB} 위에 두 점 \mathrm{C} , \mathrm{D} 가 있다. 선분 \mathrm{AB} 의 중점 \mathrm{O} 에 대하여 두 선분 \mathrm{AD} , \mathrm{CO} 14번 최고차항의 계수가 1 이고 f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 0 인 삼차함수 f ( x ) 에 대하여 함수 g ( t ) 를 g ( t ) = \displaystyle\int _{ t } ^ { t + 1 } f ( x ) dx - \displaystyle\int _{ 15번 수열 \left\{a_{n}\right\} 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 자연수 k 에 대하여 a_{4k}=r^{k} 이다. (단, r 는 0 < |r| < 1 인 상수이다.) (나) a_{1} < 0 이고, 모든 자연수 n 에 대하여 a_{n+1}=\begin{ca 16번 방정식 \log _{3}(x-4)=\log _{9}(x+2) 를 만족시키는 실수 x 의 값을 구하시오. 17번 함수 f(x) 에 대하여 f^{\prime}(x)=6x^{2}-4x+3 이고 f(1)=5 일 때, f(2) 의 값을 구하시오. 18번 수열 \left\{a_{n}\right\} 에 대하여 \displaystyle\sum_{k=1}^{5}a_{k}=10 일 때, \displaystyle\sum_{k=1}^{5}ca_{k}=65+\displaystyle\sum_{k=1}^{5}c 를 만족시키는 상수 c 의 값을 19번 방정식 3x^{4}-4x^{3}-12x^{2}+k=0 이 서로 다른 4 개의 실근을 갖도록 하는 자연수 k 의 개수를 구하시오. 20번 상수 k\:(k < 0) 에 대하여 두 함수 f(x)=x^{3}+x^{2}-x , g(x)=4|x|+k 의 그래프가 만나는 점의 개수가 2 일 때, 두 함수의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이를 S 라 하자. 30\times S 의 값을 구하시오. 21번 그림과 같이 곡선 y=2^{x} 위에 두 점 \mathrm{P}\left(a ,\: 2^{a}\right) , \mathrm{Q}\left(b ,\: 2^{b}\right) 이 있다. 직선 \mathrm{PQ} 의 기울기를 m 이라 할 때, 점 \mathrm{P} 를 지나며 기 22번 최고차항의 계수가 1 이고 x=3 에서 극댓값 8 을 갖는 삼차함수 f(x) 가 있다. 실수 t 에 대하여 함수 g(x) 를 g(x)=\begin{cases}f(x)&(x \ge t)\\-f(x)+2f(t)&(x < t)\end{cases} 라 할 때, 방정식 g(x)=0 의