2025년 고1 10월 모의고사 (수학)

1번 두 다항식 A=2x^{2}+xy-2y,B=x^{2}+xy+y 에 대하여A-B는? 2번 좌표평면 위의 두 점(1,\:0),(2,\:-3)사이의 거리는? 3번 두 행렬A=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 3 & -1\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 2\end{pmatrix}에 대하여 행렬A+2 B의 모든 성분의 합은? 4번 등식 x^{2}+ax-1=(x-1) (x+b)+3x 가x에 대한 항등식일 때,a+b의 값은? (단,a와b는 상수이다.) 5번 좌표평면 위의 점(3,\: a)를 점(8,\:8)로 옮기는 평행이동에 의하여 점(5,\:5)가 점(b,\: 2)로 옮겨질 때,a+b의 값은? 6번 다항식(4x-ay+2)^{2}의 전개식에서x^{2}의 계수와y의 계수가 같을 때, 상수a의 값은? 7번 두 이차정사각행렬A,B의(i,\: j)성분을 각각a_{i j},b_{i j}라 할 때, a_{i j} = i + 2 j \: (i = 1,\: 2,\: j = 1,\: 2), b_{i j} = i \times j \: (i = 1,\: 2,\: j = 1,\: 2) 이다. 행렬AB의 … 8번 연립방정식 \begin{cases}x-y=-3\\ x^{2}-6x+4y=11\end{cases} 의 해를x=\alpha,y=\beta라 할 때,\alpha+\beta의 값은? 9번 x에 대한 다항식x^{3}-(a+1) x^{2}+(a-3) x+8을x-a로 나누었을 때의 나머지가a일 때, 상수a의 값은 10번 한 개의 주사위를 두 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로a,b라 하자.a\times b가4의 약수 또는12의 배수가 되는 모든 순서쌍(a,\: b)의 개수는? 11번 점(m,\:-m)과 직선3x+y+3=0사이의 거리를d_{1}, 점(0,\:5)와 직선3x+y+3=0사이의 거리를d_{2}라 하자.d_{1} < d_{2}가 되도록 하는 정수m의 개수는? 12번 실수a에 대하여 복소수z를z=a^{2}+(1+i) a-6(2+i)라 하자.z^{2}이 실수가 되도록 하는 모든a의 값의 합은? (단,i=\sqrt{-1}) 13번 x에 대한 연립부등식 \begin{cases}x^{2} \ge 4n^{2}\\x^{2}-nx-6n^{2} \le 0\end{cases} 을 만족시키는 정수x의 개수가10이 되도록 하는 자연수n의 값은? 14번 좌표평면 위에 두 점\text{A}(-3,\:2),\text{B}(2,\:6)이 있다.\overline{\text{PQ}}=1인x축 위의 두 점\text{P},\text{Q}에 대하여\overline{\text{AP}}+\overline{\text{QB}}의 최솟값은? (단, 점 … 15번 세 이차정사각행렬A=\begin{pmatrix}0&0\\ 6&0\end{pmatrix},B,C가 다음 조건을 만족시킨다. BC=A일 때, 행렬C의 모든 성분의 합은? (단,O는 영행렬이다.) 16번 1학년 학생3명,2학년 학생2명,3학년 학생1명이 있다. 이6명의 학생 중에서5명의 학생을 선택하고 이5명의 학생이 모두 한 번씩 발표하도록 순서를 정하려고 할 때,1학년 학생끼리는 연속해서 발표하지 않도록 순서를 정하는 경우의 수는? (단, 발표는 한 명씩 한다.) 17번 양수a에 대하여0 \le x \le a에서 이차함수f(x)=-2x^{2}+16x-7의 최댓값과 최솟값의 합이0이 되도록 하는 모든a의 값의 합은? 18번 x에 대한 다항식x^{3}+(2a+3) x^{2}+(3a+5) x+a+3이(x+b) (x+c)^{2}으로 인수분해되도록 하는 세 실수a,b,c에 대하여a+b+c의 최댓값을M, 최솟값을m이라 할 때,M+m의 값은? 19번 최고차항의 계수가1인 삼차다항식f(x)와 모든 항의 계수가 실수인 두 다항식P(x),Q(x)가 다음 조건을 만족시킨다. P(0)=-2,Q(0)=1일 때,f(2)의 값은? 20번 0이 아닌 실수a에 대하여 좌표평면 위의 서로 다른 세 점\text{A}(2a,\: 0),\text{B},\text{C}가 다음 조건을 만족시킨다. 다음은\overline{\text{BC}} = 2 \sqrt{a ^{2}+ 1}일 때, 점\text{B}의x좌표와y좌표의 합을 구하 … 21번 좌표평면 위의 제1사분면에 있는 점\text{A}를 중심으로 하고 원점\text{O}를 지나는 원C_{1}이 있다. 원C_{1}을 원점\text{O}에 대하여 대칭이동한 원을C_{2}라 할 때, 두 원C_{1},C_{2}가 다음 조건을 만족시킨다. 원C_{2}가x축과 만나는 점 … 22번 직선y=(5-2k) x+2와 직선y=x+3이 서로 평행할 때, 상수k의 값을 구하시오. 23번 등식{}_{n}\text{C}_{2}={}_{3}\text{P}_{2}\times n을 만족시키는 자연수n의 값을 구하시오. 24번 두 행렬A=\begin{pmatrix}4&3\\3&4\end{pmatrix}.B=\begin{pmatrix}8&2\\ 2&8\end{pmatrix} pA-B=q\begin{pmatrix}0&1\\ 1&0\end{pmatrix}일 때,p+q의 값을 구하시오. (단,p와q는 상수이다. … 25번 1부터6까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는6장의 카드가 있다. 이6장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열할 때, 양 끝에 놓인 카드에 적힌 두 수의 곱이 홀수가 되도록 나열하는 경우의 수를 구하시오. 26번 x에 대한 사차방정식\left(2x^{2}+kx\right)^{2}+10\left(2x^{2}+kx\right)+16=0의 서로 다른 실근의 개수가2가 되도록 하는 모든 자연수k의 값의 합을 구하시오. 27번 상수k에 대하여x에 대한 이차방정식x^{2}+kx-\dfrac{1}{2} k^{2}+3k=0이 서로 다른 두 실근\alpha,\beta를 갖는다.\alpha^{2}-k\beta=12일 때,\alpha^{2}+\beta^{2}의 값을 구하시오. 28번 원O가x축과 두 점\text{A},\text{B}에서 만나고,y축과 두 점\text{C},\text{D}에서 만난다. 네 점\text{A},\text{B},\text{C},\text{D}와 원O가 다음 조건을 만족시킬 때, 사각형\text{ACBD}의 넓이를 구하시오. (단, … 29번 그림과 같이 정사각형\text{ABCD}를 밑면으로 하는 직육면체\text{ABCD}-\text{EFGH}가 있다. 선분\text{AD}위의 점\text{P}와 선분\text{BC}위의 점\text{Q}를 … 30번 두 상수p\:(p > 0),q에 대하여 이차함수f(x)=\dfrac{1}{2}(x-p)^{2}+q가 있다. 함수f(x)와 양수m에 대하여 함수g(x)를 g(x)=-f(x-m) 이라 할 때, 방정식f(x)=g(x)가 서로 다른 두 실근\alpha, …