2015년 고3 7월 모의고사

1번 행렬 A = \begin{pmatrix}1 & -3 \\ 0 & 1\end{pmatrix} 에 대하여 A + A^{2} + A^{3} + \cdots + A^{n} 의 (1,2) 성분이 -1488 일 때, 자연수 n 의 값은? ① 31 ② 32 ③ 33 ④ 34 ⑤ 35 2번 유리수 a , b , x , y 에 대하여 두 등식 (2 + \sqrt{3})^{100} = a + b \sqrt{3} , (2 + \sqrt{3})^{101} = x + y \sqrt{3} 이 성립한다고 하자. \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = 3번 어느 도시에서 운전면허증을 소지한 사람이 지난 10 년 간 교통법규를 위반한 건수는 평균 5 건, 표준편차 1 건인 정규분포를 따른다고 한다. 이 도시에서 운전면허증을 소지한 사람 중에서 임의추출한 100 명이 지난 10 년 간 교통법규를 위반한 건수의 평균이 4.85 건 이상 4번 x 에 대한 이차방정식 f \left(x\right) = 0 의 두 근 \alpha , \beta 가 \alpha + \beta = \alpha \beta 를 만족한다고 하자. 이차방정식 f \left(x-1\right) = 0 의 두 근을 \gamma , \delta 라 할 5번 \omega 는 x^{2} + x + 1 = 0 의 한 허근이고, f \left(x\right) = x + \dfrac{1}{x} 라 할 때, f \left(\omega\right) f \left(\omega^{2}\right) f \left(\omega^{2^{2}}\righ 6번 방정식 \sqrt{2016} x^{\log_{2016} x} = x^{2} 의 해의 곱을 N 이라 할 때, N 의 마지막 두 자리를 구하면? ① 16 ② 36 ③ 56 ④ 76 ⑤ 96 7번 어떤 프로파일러가 사람을 면담한 후 범인 여부를 판단할 확률이 다음과 같다. ⦁ 범행을 저지른 사람을 범인으로 판단할 확률은 0.99 이다. ⦁ 범행을 저지르지 않은 사람을 범인으로 판단할 확률은 0.04 이다. 이 프로파일러가 범행을 저지른 사람 20 명과 범행을 저지르지 않 8번 확률변수 X 가 이항분포 {\text{B}}(n, p) 를 따르고 \text{E} (X^{2}) = 40, {\text{E}}(3X + 1) = 19 일 때, \dfrac{{\text{P}}(X = 1)}{{\text{P}}(X = 2)} 의 값은? ① \dfrac{4}{17} 9번 두 수열 \left\{a_{n}\right\} , \left\{b_{n}\right\} 이 a_{n + 1} = \dfrac{1}{2} \left\lvert a_n\right\rvert -1 , a_{1} = 1 , b_{n} = a_{n + 1} + \dfrac{2}{3} \ 10번 함수 f \left(x\right) 는 모든 실수 x 에 대하여 f \left(x + 2\right) = f \left(x\right) 를 만족시키고 f \left(x\right) = 2- \left\lvert x-1\right\rvert \left(0\le x < 2\righ 11번 모든 실수 x 에 대하여 f \left(-x\right) = -f \left(x\right) 인 다항함수 f \left(x\right) 가 f \left(-1\right) = 2 , \lim_{x\rightarrow -1} {} \dfrac{f \left(1\right)-f \ 12번 삼차함수 f(x) = (a-4) x^{3} + 3(b-2) x^{2}-3 a x + 2 가 극값을 갖지 않을 때, 좌표평면에서 점 (a, b) 가 존재하는 영역을 A 라 하고, B = \left\{(x, y) | m x-y + m = 0\right\} 이라 하자. A \cap 13번 자연수 n 에 대하여 두 조건 \left[\dfrac{x}{n}\right] = 2 , \left[\dfrac{x}{n + 1}\right] = 1 을 만족시키는 실수 x 중에서 가장 큰 자연수를 a_{n} 이라 할 때, \sum_{n = 1}^{30} a_{n} 의 값은? ( 14번 10 명의 순경이 세 구역을 순찰하려고 한다. 각 구역에는 적어도 한 명이 순찰하고, 각 구역의 순찰 인원은 5 명 이하가 되도록 인원수를 정하는 경우의 수는? (단, 한 명의 순경은 하나의 구역만 순찰하고, 순경은 서로 구분하지 않는다.) ① 16 ② 18 ③ 20 ④ 22 15번 함수 f 는 임의의 실수 x , y 에 대하여 다음을 만족시킨다. f \left(1\right) > 0 , f \left(xy\right) = f \left(x\right)f \left(y\right)-x-y 이때, \lim_{n\rightarrow \infty} {} \sum 16번 다음과 같이 흰 바둑돌 1 개와 검은 바둑돌 2 개를 왼쪽부터 교대로 반복하여 나열하였다. HML 원본 그림 이 바둑돌을 왼쪽부터 차례로 1 개, 2 개, 3 개, \cdots 를 꺼내어 각각 제 1 행, 제 2 행, 제 3 행, \cdots 에 순서대로 놓으면 아래 그림과 같 17번 눈의 수가 1 부터 6 까지인 주사위를 던져서 눈의 수가 1 또는 6 이 나올 때까지 반복한다. 한 번 던지고 중지하면 1000 원을 받고, 두 번 던지고 중지하면 2000 원을 받는다. 이와 같이 계속하여 n 번 던지고 중지하면 n \times1000 원을 받을 때, 받는 돈 18번 두 수 a, b 가 0 < b < a 를 만족시킬 때, 한 꼭짓점이 \left(a,b\right) 이고, 다른 두 꼭짓점이 각각 x 축과 직선 y = 2x 에 놓여 있는 삼각형의 둘레의 길이의 최솟값은? ① \dfrac{4}{\sqrt5} \sqrt{a^2 + b^2} ② \d 19번 \triangle \text{ABC} 에서 {\overline{\text{AB}}} = x , {\overline{\text{BC}}} = x + 1 , {\overline{\text{AC}}} = x + 2 이고 \angle \text{B} = 2\theta , \angle 20번 무한히 확장된 바둑판 모양 격자에서 실행되는 게임을 생각한다. 이전 세대에서 다음 세대로 넘어갈 때 어떤 정사각형이 살아있을 것인가를 결정하는 규칙은 다음과 같다. ∙ 살아있는 정사각형은 자신을 감싸는 여덟 개의 정사각형 중에서 정확히 두 개 또는 세 개가 살아있다면 다음 세대 21번 등차수열 \left\{a_{n}\right\} 에 대하여 a_{1} + a_{3} + a_{13} + a_{15} = 72 일 때, \sum_{n = 1}^{15} a_{n} 의 값을 구하시오. 22번 실수 t 에 대하여 함수 f \left(x\right) = x^2 -2 \left\lvert x-t\right\rvert \left(-1\le x \le1\right) 의 최댓값을 g \left(t\right) 라고 하자. \int_{0}^{\frac{3}{2}} g \left 23번 두 자연수 m , n 에 대하여 부등식 \left\lvert \log_{3} \dfrac{m}{15}\right\rvert + \log_{3} \dfrac{n}{3} \le 0 을 만족시키는 순서쌍 \left(m, n\right) 의 개수를 구하시오. 24번 다항함수 f \left(x\right) = x^3 \left(x^3 + 1\right) \left(x^3 + 2\right) \left(x^3 + 3\right) 에 대하여 f' \left(-1\right) = a 이고 f \left(x\right) 의 최솟값이 b 일 때, a 25번 삼각형 \text{ABC} 에서 \overline{\text{AB}} 의 n 등분점과 꼭짓점 \text{C} 를 잇고, \overline{\text{AC}} 의 n 등분점과 꼭짓점 \text{B} 를 잇는다. 이때, 만들어지는 삼각형( \triangle \text{ABC} 도