2018년 고3 3월 모의고사 (가형)

1번 \\_{7}C_{2} 의 값은? ① 17 ② 19 ③ 21 ④ 23 ⑤ 25 2번 함수 f ( x ) = x + 2 \sin x 에 대하여 f ^ { \prime } \left ( \dfrac { \pi } { 3 } \right) 의 값은? ① 1 ② \dfrac { 3 } { 2 } ③ 2 ④ \dfrac { 5 } { 2 } ⑤ 3 3번 \lim\limits _{x\to 0}(1+2x)^{\frac{1}{x}} 의 값은? ① \dfrac{1}{e^{2}} ② \dfrac{1}{2e} ③ \dfrac{1}{e} ④ 2e ⑤ e^{2} 4번 \tan \theta =-3 일 때, \sec ^{2}\theta 의 값은? ① 7 ② 8 ③ 9 ④ 10 ⑤ 11 5번 함수 f(x)=e^{x}-e^{-x} 에 대하여 \lim\limits _{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x} 의 값은? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5 6번 숫자 0 , 1 , 2 , 3 , 4 중에서 중복을 허락하여 세 개를 선택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수는? ① 90 ② 95 ③ 100 ④ 105 ⑤ 110 7번 \displaystyle\int _{ 1 } ^ { 2 } x \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } dx 의 값은? ① \sqrt { 3 } ② 2 ③ \sqrt { 5 } ④ \sqrt { 6 } ⑤ \sqrt { 7 } 8번 최대 충전 용량이 Q_{0}\:\left(Q_{0} > 0\right) 인 어떤 배터리를 완전히 방전시킨 후 t 시간 동안 충전한 배터리의 충전 용량을 Q(t) 라 할 때, 다음 식이 성립한다고 한다. Q(t)=Q_{0}\left(1-2^{-\frac{t}{a}}\right) 9번 그림과 같이 두 함수 f(x)=2^{x}+1 , g(x)=-2^{x-1}+7 의 그래프가 y 축과 만나는 점을 각각 \text{A} , \text{B} 라 하고, 곡선 y=f(x) 와 곡선 y=g(x) 가 만나는 점을 \text{C} 라 할 때, 삼각형 \text{AC B} 의 10번 함수 f(x)=\dfrac{x-1}{x^{2}-x+1} 의 극댓값과 극솟값의 합은? ① -1 ② -\dfrac{5}{6} ③ -\dfrac{2}{3} ④ -\dfrac{1}{2} ⑤ -\dfrac{1}{3} 11번 닫힌 구간 [ -1 ,\: 2] 에서 함수 f(x)=\left(\dfrac{3}{a}\right)^{x} 의 최댓값이 4 가 되도록 하는 모든 양수 a 의 값의 곱은? ① 16 ② 18 ③ 20 ④ 22 ⑤ 24 12번 그림과 같이 곡선 y=xe^{x} 위의 점 (1,\: e) 를 지나고 x 축에 평행한 직선을 l 이라 하자. 곡선 y=xe^{x} 과 y 축 및 직선 l 로 둘러싸인 도형의 넓이는? contenthub figure ① 2e-3 ② 2e-\dfrac{5}{2} ③ e-2 ④ e- 13번 0 < x < \dfrac{\pi}{2} 에서 정의된 함수 f(x)=\ln (\tan x) 의 그래프와 x 축이 만나는 점을 \text{P} 라 하자. 곡선 y=f(x) 위의 점 \text{P} 에서의 접선의 y 절편은? ① -\pi ② -\dfrac{5}{6}\pi ③ -\d 14번 뉴턴의 냉각법칙에 따르면 온도가 20 으로 일정한 실내에 있는 어떤 물질의 시각 t (분)에서의 온도를 T ( t ) 라 할 때, 함수 T ( t ) 의 도함수 T ^ { \prime } ( t ) 에 대하여 다음 식이 성립한다고 한다. \displaystyle\int \fra 15번 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f ( x) 에 대하여 곡선 y = f ( x) 위의 점 ( 4, \: f ( 4 )) 에서의 접선 l 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 직선 l 은 제 2 사분면을 지나지 않는다. (나) 직선 l 과 x 축 및 y 축으로 둘러싸인 도형은 16번 그림과 같이 제 1 사분면에 있는 곡선 y = \log _{ 2 } ( x + 1 ) 위의 점 \text{P} 를 지나고 기울기가 - 1 인 직선이 x 축과 만나는 점을 \text{Q} 라 하자. 자연수 n 에 대하여 \overline { \text{PQ} } = \sqrt { 17번 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f ( x ) 의 역함수를 g ( x ) 라 하자. 두 함수 f ( x ) , g ( x ) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) f ( 0 ) = 1 (나) 모든 실수 x 에 대하여 f ( x ) g ^ { \prime } ( f ( x ) 18번 다음은 부등식 \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { n } \left\{ 2k \times \left( \\_{n}C_{k}\right) ^ { 2 } \right\} \ge 10 \times\\_{2n}C_{n+1} 을 만족시키는 자연수 n 의 최솟값을 19번 그림과 같이 길이가 1 인 선분 \text{AB} 를 지름으로 하는 반원 위의 점 \text{P} 에 대하여 \angle \text{ABP} 를 삼등분하는 두 직선이 선분 \text{AP} 와 만나는 점을 각각 \text{Q} , \text{R} 라 하자. \angle \tex 20번 함수 f ( x ) = \displaystyle\int_{ 0 } ^ { x } \sin ( \pi \cos t ) dt 에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보기> ㄱ. f ^{\prime}( 0 ) = 0 ㄴ. 함수 y = f ( x ) 의 그래프는 21번 함수 f(x)=\left(x^{2}+ax+b\right)e^{x} 과 함수 g(x) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) f(1)=e , f^{\prime}(1)=e (나) 모든 실수 x 에 대하여 g(f(x))=f^{\prime}(x) 이다. 함수 h(x)=f^{-1}(x)g( 22번 부등식 \log _{2}(x-2) < 2 를 만족시키는 모든 자연수 x 의 값의 합을 구하시오. 23번 \tan\alpha = 4 , \tan\beta = - 2 일 때, \tan ( \alpha + \beta ) = \dfrac { q } { p } 이다. p + q 의 값을 구하시오. (단, p 와 q 는 서로소인 자연수이다.) 24번 P ( 5,\:3 ) + S ( 5,\:3 ) 의 값을 구하시오. 25번 함수 f(x)=\sin ^{2}x+\sin \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)+1 의 최댓값을 M 이라 할 때, 4M 의 값을 구하시오. 26번 세 문자 \text{A} , \text{B} , \text{C} 에서 중복을 허락하여 각각 홀수 개씩 모두 7 개를 선택하여 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하시오. (단, 모든 문자는 한 개 이상씩 선택한다.) 27번 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 f(x) 가 모든 실수 x 에 대하여 x\displaystyle\int _{0}^{x}f(t)dt-\int _{0}^{x}tf(t)dt=ae^{2x}-4x+b 를 만족시킬 때, f(a)f(b) 의 값을 구하시오. (단, a , b 는 상수이다. 28번 함수 f(x)=\ln x 에 대하여 \lim\limits _{n\to \infty}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k}{n^{2}}f\left(1+\dfrac{k}{n}\right)=\dfrac{q}{p} 일 때, p+q 의 값을 구하시오. (단, 29번 사과, 배, 귤 세 종류의과일이 각각 2 개씩 있다. 이 6 개의과일 중 4 개를 선택하여 2 명의 학생에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 종류의과일은 서로 구별하지 않고,과일을 한 개도 받지 못하는 학생은 없다.) 30번 함수 f ( x ) = \begin{cases} e ^ { x } & ( 0 \le x < 1 ) \\ e ^ { 2 - x } & ( 1 \le x \le 2 ) \end{cases} 에 대하여 열린 구간 ( 0,\:2 ) 에서 정의된 함수 g ( x ) = \displays