(2023년 시행) 2024학년도 고3 9월 평가원 모의고사 (공통)

1번 3^{1-\sqrt{5}}\times 3^{1+\sqrt{5}} 의 값은? ① \dfrac{1}{9} ② \dfrac{1}{3} ③ 1 ④ 3 ⑤ 9 2번 함수 f(x)=2x^{2}-x 에 대하여 \lim\limits _{x\to 1}\dfrac{f(x) - 1}{x-1} 의 값은? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5 3번 \dfrac{3}{2}\pi < \theta < 2\pi 인 \theta 에 대하여 \cos \theta=\dfrac{\sqrt{6}}{3} 일 때, \tan \theta 의 값은? ① -\sqrt{2} ② -\dfrac{\sqrt{2}}{2} ③ 0 ④ \dfrac{\sqrt 4번 함수 y = f ( x ) 의 그래프가 그림과 같다. contenthub figure \lim\limits _{ x \to - 2 + } f ( x ) + \lim\limits _{ x \to 1 - } f ( x ) 의 값은? ① -2 ② -1 ③ 0 ④ 1 ⑤ 2 5번 모든 항이 양수인 등비수열 \left\{ a _{ n }\right \} 에 대하여 \dfrac { a _{ 3 } a _{ 8 } } { a _{ 6 } } = 12 , a _{ 5 } + a _{ 7 } = 36 일 때, a _{ 11 } 의 값은? ① 72 ② 78 ③ 8 6번 함수 f ( x ) = x ^ { 3 } + ax ^ { 2 } + bx + 1 은 x = - 1 에서 극대이고, x = 3 에서 극소이다. 함수 f ( x ) 의 극댓값은? (단, a , b 는 상수이다.) ① 0 ② 3 ③ 6 ④ 9 ⑤ 12 7번 두 실수 a , b 가 3a+2b=\log _{3}32 , ab=\log _{9}2 를 만족시킬 때, \dfrac{1}{3a}+\dfrac{1}{2b} 의 값은? ① \dfrac{5}{12} ② \dfrac{5}{6} ③ \dfrac{5}{4} ④ \dfrac{5}{3} ⑤ \ 8번 다항함수 f(x) 가 f^{\prime}(x)=6x^{2}-2f(1)x , f(0)=4 를 만족시킬 때, f(2) 의 값은? ① 5 ② 6 ③ 7 ④ 8 ⑤ 9 9번 0 \le x \le 2 \pi 일 때, 부등식 \cos x \le \sin \dfrac { \pi } { 7 } 를 만족시키는 모든 x 의 값의 범위는 \alpha \le x \le \beta 이다. \beta - \alpha 의 값은? ① \dfrac { 8 } { 7 } 10번 최고차항의 계수가 1 인 삼차함수 f(x) 에 대하여 곡선 y=f(x) 위의 점 (-2 ,\: f(-2)) 에서의 접선과 곡선 y=f(x) 위의 점 (2 ,\: 3) 에서의 접선이 점 (1 ,\: 3) 에서 만날 때, f(0) 의 값은? ① 31 ② 33 ③ 35 ④ 37 ⑤ 11번 두 점 \mathrm{P} 와 \mathrm{Q} 는 시각 t = 0 일 때 각각 점 \mathrm{A} ( 1 ) 과 점 \mathrm{B} ( 8 ) 에서 출발하여 수직선 위를 움직인다. 두 점 \mathrm{P} , \mathrm{Q} 의 시각 t\: ( t \ge 0 ) 12번 첫째항이 자연수인 수열 \left\{ a_ { n } \right\} 이 모든 자연수 n 에 대하여 a_ { n + 1 } = \begin{cases} a_ { n } + 1 & \left( a_ { n } \text{이 홀수인 경우}\right) \\ \dfrac { 1 } 13번 두 실수 a , b 에 대하여 함수 f(x)=\begin{cases}-\dfrac{1}{3}x^{3}-ax^{2}-bx& (x < 0)\\\dfrac{1}{3}x^{3}+ax^{2}-bx&(x \ge 0)\end{cases} 이 구간 (-\infty, -1] 에서 감소하고 구간 14번 두 자연수 a , b 에 대하여 함수 f ( x ) = \begin{cases} 2 ^ { x + a } + b & ( x \le - 8)\\ - 3 ^ { x - 3 } + 8& ( x > - 8) \end{cases} 이 다음 조건을 만족시킬 때, a + b 의 값은? 집합 15번 최고차항의 계수가 1 인 삼차함수 f ( x ) 에 대하여 함수 g ( x ) 를 g ( x ) = \begin{cases} \dfrac { f ( x + 3 ) \{ f ( x ) + 1 \} }{ f ( x ) }&( f ( x ) \ne 0 ) \\ 3 &( f ( x ) 16번 방정식 \log _{ 2 } ( x - 1 ) = \log _{ 4 } ( 13 + 2x ) 를 만족시키는 실수 x 의 값을 구하시오. 17번 두 수열 \left\{a_{n}\right\} , \left\{b_{n}\right\} 에 대하여 \displaystyle\sum_{k=1}^{10}\left(2a_{k}-b_{k}\right)=34 , \displaystyle\sum_{k=1}^{10}a_{k}=10 일 때, 18번 함수 f(x)=\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+ax+3\right) 에 대하여 f^{\prime}(1)=32 일 때, 상수 a 의 값을 구하시오. 19번 두 곡선 y=3x^{3}-7x^{2} 과 y=-x^{2} 으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. 20번 그림과 같이 \overline{\mathrm{AB}}=2 , \overline{\mathrm{AD}}=1 , \angle \mathrm{DAB}=\dfrac{2}{3}\pi , \angle \mathrm{BCD}=\dfrac{3}{4}\pi 인 사각형 \mathrm{ABCD} 21번 모든 항이 자연수인 등차수열 \left\{a_{n}\right\} 의 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 S_{n} 이라 하자. a_{7} 이 13 의 배수이고 \displaystyle\sum_{k=1}^{7}S_{k}=644 일 때, a_{2} 의 값을 구하시오. 22번 두 다항함수 f(x) , g(x) 에 대하여 f(x) 의 한 부정적분을 F(x) 라 하고 g(x) 의 한 부정적분을 G(x) 라 할 때, 이 함수들은 모든 실수 x 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) \displaystyle\int _{1}^{x}f(t)dt=xf(x)