2016년 고3 3월 모의고사 (가형)

1번 \lim\limits _{x\to 0}\dfrac{e^{2x}-1}{4x} 의 값은? ① \dfrac{1}{3} ② \dfrac{1}{2} ③ \dfrac{2}{3} ④ \dfrac{5}{6} ⑤ 1 2번 \theta = \dfrac { 3 } { 4 } \pi 일 때, \sin\theta+ \cos\theta 의 값은? ① - \sqrt { 2 } ② -1 ③ 0 ④ 1 ⑤ \sqrt { 2 } 3번 함수 f ( x ) = \dfrac { e ^ { x } } { x } 에 대하여 f ^ { \prime } ( 2 ) 의 값은? ① \dfrac { e ^ { 2 } } { 4 } ② \dfrac { e ^ { 2 } } { 2 } ③ e^{2} ④ 2e^{2} ⑤ 4e^{2 4번 \displaystyle\int _{1}^{2}\dfrac{3x+2}{x^{2}}dx 의 값은? ① 2\ln 2-1 ② 3\ln 2-1 ③ \ln 2+1 ④ 2\ln 2+1 ⑤ 3\ln 2+1 5번 함수 f(x)=a\sin x+1 의 최댓값을 M , 최솟값을 m 이라 하자. M-m=6 일 때, 양수 a 의 값은? ① 2 ② \dfrac{5}{2} ③ 3 ④ \dfrac{7}{2} ⑤ 4 6번 자연수 n 에 대하여 함수 y = e ^ { - x } - \dfrac { n - 1 } { e } 의 그래프와 함수 y = |\ln x| 의 그래프가 만나는 점의 개수를 f ( n ) 이라 할 때, f ( 1 ) + f ( 2 ) 의 값은? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5 7번 함수 f ( x ) 가 모든 실수에서 연속일 때, 도함수 f ^ { \prime } ( x ) 가 f ^ { \prime} ( x ) = \begin{cases} e ^ { x - 1 } &(x \le 1)\\ \dfrac { 1 } { x } &(x > 1)\end{cases 8번 함수 f ( x ) = \sin x + a\cos x 에 대하여 \lim\limits_{x\to \frac { \pi } { 2 } } \cfrac { f ( x ) - 1 } { x - \cfrac { \pi } { 2 } } = 3 일 때, f \left( \dfrac { 9번 실수 전체의 집합에서 함수 f ( x ) = \left( x ^ { 2 } + 2ax + 11 \right) e ^ { x } 이 증가하도록 하는 자연수 a 의 최댓값은? ① 3 ② 4 ③ 5 ④ 6 ⑤ 7 10번 자연수 n 에 대하여 f(n)=\displaystyle\sum_{r=0}^{n}\\_{n}\text{C}_{r}\left(\dfrac{1}{9}\right)^{r} 일 때, \log f(n) > 1 을 만족시키는 n 의 최솟값은? \left(\text{단}, \:\log 3=0 11번 그림과 같이 제 1 사분면에 있는 점 \text{P} 에서 x 축에 내린 수선의 발을 \text{H} 라 하고, \angle \text{POH}=\theta 라 하자. \dfrac{\overline{\text{OH}}}{\overline{\text{PH}}} 를 f(\theta 12번 함수 f ( x ) 가 f ( x ) = \begin{cases} e ^ { x } & ( x\le 0,\:x \ge 2 ) \\ \ln ( x + 1 ) & ( 0 < x < 2 )\end{cases} 이고, 함수 y = g ( x ) 의 그래프가 그림과 같다. content 13번 t = 1 일 때, 두 곡선 y = f ( x ) , y = g ( x ) 와 직선 \text{AB} 로 둘러싸인 부분의 넓이는? ① \dfrac{5}{4\ln 2} ② \dfrac{1}{\ln 2} ③ \dfrac{3}{4\ln 2} ④ \dfrac{1}{2\ln 2} ⑤ \ 14번 점 \text{A} 에서 y 축에 내린 수선의 발을 \text{H} 라 할 때, \lim\limits _{ t \to 0 + } \dfrac { \overline { \text{AB} } } { \overline { \text{AH} } } 의 값은? ① 2\ln 2 ② \df 15번 한 변의 길이가 a 인 정사각형 모양의 시트지 2 장, 빗변의 길이가 \sqrt { 2 } a 인 직각이등변삼각형 모양의 시트지 4 장이 있다. 정사각형 모양의 시트지의 색은 모두 노란색이고, 직각이등변삼각형 모양의 시트지의 색은 모두 서로 다르다. [그림 1 ] 과 같이 한 16번 함수 f(x)=\lim\limits _{n\to \infty}\dfrac{x^{2n}+\cos 2\pi x}{x^{2n}+1} 에 대하여 함수 g(x) 를 g(x)=\displaystyle\int _{-x}^{2}f(t)dt+\displaystyle\int _{2}^{x}tf( 17번 1 부터 8 까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 8 장의 카드 중에서 동시에 5 장의 카드를 선택하려고 한다. 선택한 카드에 적혀 있는 수의 합이 짝수인 경우의 수는? ① 24 ② 28 ③ 32 ④ 36 ⑤ 40 18번 좌표평면에 중심이 원점 \text{O} 이고 반지름의 길이가 3 인 원 C_ { 1 } 과 중심이 점 \text{A} ( t, \: 6) 이고 반지름의 길이가 3 인 원 C_ { 2 } 가 있다. 그림과 같이 기울기가 양수인 직선 l 이 선분 \text{OA} 와 만나고, 두 19번 함수 f ( x ) = \dfrac { x } { x ^ { 2 } + 1 } 에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보기> ㄱ. f ^ { \prime } ( 0 ) = 1 ㄴ. 모든 실수 x 에 대하여 f ( x ) \ge - \dfrac { 1 } { 20번 그림과 같이 함수 f(x)=\begin{cases}e^{-x}&(x < 0)\\\sqrt{\ln (x+1)+1}&(x \ge 0)\end{cases} 의 그래프 위의 점 \text{P}(x ,\: f(x)) 에서 x 축에 내린 수선의 발을 \text{H} 라 하고, 선분 \te 21번 그림과 같이 중심이 원점 \text{O} 이고 반지름의 길이가 1 인 원 C 가 있다. 원 C 가 x 축의 양의 방향과 만나는 점을 \text{A} , 원 C 위에 있고 제 1 사분면에 있는 점 \text{P} 에서 x 축에 내린 수선의 발을 \text{H} , \angle \ 22번 방정식 2 ^ { \frac { 1 } { 8 } x - 1 } = 16 의 해를 구하시오. 23번 곡선 y=\ln (x-7) 에 접하고 기울기가 1 인 직선이 x 축, y 축과 만나는 점을 각각 \text{A} , \text{B} 라 할 때, 삼각형 \text{AOB} 의 넓이를 구하시오. \left(\text{단, O는 원점이다.}\right) 24번 원소의 개수가 8 인 집합을 공집합이 아닌 2 개의 서로소인 부분집합으로 분할하는 방법의 수를 구하시오. 25번 어느 필름의 사진농도를 P , 입사하는 빛의 세기를 Q , 투과하는 빛의 세기를 R 라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다. R=Q\times 10^{-P} 두 필름 \text{A} , \text{B} 에 입사하는 빛의 세기가 서로 같고, 두 필름 \text{A} , \ 26번 그림과 같이 기울기가 - \dfrac { 1 } { 3 } 인 직선 l 이 원 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 과 점 \text{A} 에서 접하고, 기울기가 1 인 직선 m 이 원 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 과 점 \text{B} 에서 접한다. 27번 다음 조건을 만족시키는 자연수 N 의 개수를 구하시오. (가) N 은 10 이상 9999 이하의 홀수이다. (나) N 의 각 자리 수의 합은 7 이다. 28번 함수 f ( x ) = \dfrac { e ^ { \cos x } } { 1 + e ^ { \cos x } } 에 대하여 a = f ( \pi - x ) + f ( x ) , b = \displaystyle\int _{ 0 } ^ { \pi } f ( x ) dx 일 때, a 29번 집합 X = \{ - 3,\: - 2,\: - 1,\:1,\: 2,\: 3 \} 에 대하여 X 에서 X 로의 함수 f ( x ) 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) X 의 모든 원소 x 에 대하여 | f ( x ) + f ( - x ) | = 1 이다. (나) x > 0 이면 30번 함수 f(x)=x^{2}e^{ax}\:(a < 0) 에 대하여 부등식 f(x) \ge t\:(t > 0) 을 만족시키는 x 의 최댓값을 g(t) 라 정의하자. 함수 g(t) 가 t=\dfrac{16}{e^{2}} 에서 불연속일 때, 100a^{2} 의 값을 구하시오. \left