2018년 고3 4월 모의고사 (가형)

1번 \lim\limits _{ x \to 0 } \dfrac { e ^ { 3x } - 1 } { 2x } 의 값은? ① \dfrac { 1 } { 2 } ② \dfrac { 3 } { 4 } ③ 1 ④ \dfrac { 5} { 4 } ⑤ \dfrac { 3} { 2 } 2번 반지름의 길이가 4 , 중심각의 크기가 \dfrac { \pi } { 4 } 인 부채꼴의 호의 길이는? ① \dfrac { \pi } { 4 } ② \dfrac { \pi } { 2 } ③ \dfrac { 3 } { 4 } \pi ④ \pi ⑤ \dfrac {5 } { 4 } 3번 쌍곡선 \dfrac{x^{2}}{25}-\dfrac{y^{2}}{4}=1 의 점근선의 방정식이 y=kx , y=-kx 이다. 양수 k 의 값은? ① \dfrac{1}{5} ② \dfrac{2}{5} ③ \dfrac{3}{5} ④ \dfrac{4}{5} ⑤ 1 4번 닫힌 구간 [ 2 ,\: 4] 에서 함수 f(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x-2} 의 최솟값은? ① \dfrac{1}{32} ② \dfrac{1}{16} ③ \dfrac{1}{8} ④ \dfrac{1}{4} ⑤ \dfrac{1}{2} 5번 \displaystyle \int _{ 0 } ^ { \frac { \pi } { 6 } } \cos 3xdx 의 값은? ① \dfrac {1}{6} ② \dfrac {1}{4} ③ \dfrac {1}{3} ④ \dfrac {5}{12} ⑤ \dfrac {1}{2} 6번 곡선 y = x ^ { 2 } - 2x\ln x 의 변곡점의 x 좌표는? ① 1 ② \sqrt { e } ③ 2 ④ e ⑤ 3 7번 자연수 5 의 분할 중 3 이하의 자연수의 합으로 나타내어지는 분할의 수는? ① 3 ② 4 ③ 5 ④ 6 ⑤ 7 8번 곡선 x ^ { 3 } + xy - y ^ { 2 } = 0 위의 점 ( 2,\:4 ) 에서의 접선의 기울기는? ① \dfrac{13}{6} ② \dfrac{7}{3} ③ \dfrac{5}{2} ④ \dfrac{8}{3} ⑤ \dfrac{17}{6} 9번 0 \le x < 2\pi 에서 부등식 2\sin x+1 < 0 의 해가 \alpha < x < \beta 일 때, \cos (\beta-\alpha) 의 값은? ① -\dfrac{\sqrt3}{2} ② -\dfrac{1}{2} ③ 0 ④ \dfrac{1}{2} ⑤ \dfrac 10번 \left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{a}{x}\right)^{6} 의 전개식에서 x^{2} 의 계수가 15 일 때, 양수 a 의 값은? ① 4 ② 5 ③ 6 ④ 7 ⑤ 8 11번 함수 f(x)=\dfrac{x} {2} +2\sin x 에 대하여 함수 g(x) 를 g(x)=(f\circ f) (x) 라 할 때, g^{\prime}(\pi) 의 값은? ① -1 ② -\dfrac{7} {8} ③ -\dfrac{3} {4} ④ -\dfrac{5} {8} ⑤ - 12번 좌표평면 위에 두 점 \text{F} ( c,\:0 ) , \text{F} ^ { \prime } ( - c,\:0 )\: ( c > 0 ) 을 초점으로 하고 점 \text{A} ( 0,\:1 ) 을 지나는 타원 C 가 있다. 두 점 \text{A} , \text{F} ^ {\ 13번 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 f(x) 의 도함수 f^{\prime}(x) 가 f^{\prime}(x)=\begin{cases}2x+3&(x < 1)\\ \ln x&(x > 1)\end{cases} 이다. f(e)=2 일 때, f(-6) 의 값은? ① 9 ② 11 ③ 13 14번 그림과 같이 a > 1 인 실수 a 에 대하여 두 곡선 y = a \log _{ 2 } ( x - a + 1 ) 과 y = 2 ^ { x - a } - 1 이 서로 다른 두 점 \text{A} , \text{B} 에서 만난다. 점 \text{A} 가 x 축 위에 있고 삼각형 \ 15번 곡선 y=\dfrac{1}{x} 과 두 직선 x = 1 , x = 2 및 x 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 S 라 하자. 곡선 y=\dfrac{1}{x} 과 두 직선 x=1 , x=a 및 x 축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 2S 가 되도록 하는 모든 양수 a 의 값의 합은? ① 16번 그림과 같이 곡선 y=e ^{x} 위의 두 점 \text{A}\left(t ,\: e^{t}\right) , \text{B}\left(-t ,\: e^{-t}\right) 에서의 접선을 각각 l , m 이라 하자. 두 직선 l 과 m 이 이루는 예각의 크기가 \dfrac{\pi 17번 a > e 인 실수 a 에 대하여 두 곡선 y = e ^ { x - 1 } 과 y = a ^ { x } 이 만나는 점의 x 좌표를 f ( a ) 라 할 때, \lim\limits _{ a \to e + } \dfrac { 1 } { ( e - a ) f ( a ) } 의 값은? 18번 그림과 같이 포물선 y ^ { 2 } = 16x 에 대하여 포물선의 준선 위의 한 점 \text{A} 가 제 3 사분면에 있다. 점 \text{A} 에서 포물선에 그은 기울기가 양수인 접선과 포물선이 만나는 점을 \text{B} , 점 \text{B} 에서 준선에 내린 수선의 19번 다음은 1 부터 n 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 n 개의 공이 들어 있는 주머니에서 임의로 세 개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 세 수 중 어느 두 수도 연속되지 않는 경우의 수를 구하는 과정이다. \left(\text{단}, \:n \ge 5\right) 20번 그림과 같이 길이가 4 인 선분 \text{AB} 를 지름으로 하는 반원 위에 두 점 \text{P} , \text{Q} 를 \angle \text{PAB}=\theta , \angle \text{QAB}=2\theta 가 되도록 잡는다. 선분 \text{AB} 의 중점 \te 21번 \dfrac{3}{5} < x < 4 에서 정의된 미분가능한 함수 f(x) 가 f(1)=2 이고 f^{\prime}(x)=\dfrac{1-x^{2}\{f(x)\}^{3}}{x^{3}\{f(x)\}^{2}} 을 만족시킨다. 함수 f(x) 의 역함수 g(x) 가 존재하고 미분가능할 22번 방정식 \log _{3}(x+2)=3 을 만족시키는 실수 x 의 값을 구하시오. 23번 함수 f(x)=x\sqrt{x} 에 대하여 f^{\prime}(16) 의 값을 구하시오. 24번 좌표평면에서 곡선 y = 4 \sin \left ( \dfrac { \pi } { 2 } x \right) \: ( 0 \le x \le 2) 위의 점 중 y 좌표가 정수인 점의 개수를 구하시오. 25번 함수 f ( x ) = \dfrac{ x}{x ^{2} - x+8} 에 대하여 부등식 f ^{\prime}( x ) > 0 의 해가 \alpha< x < \beta 일 때, \alpha ^{2} +\beta ^{2} 의 값을 구하시오. 26번 숫자 1 , 2 , 3 , 4 , 5 에서 중복을 허락하여 7 개를 선택할 때, 짝수가 두 개가 되는 경우의 수를 구하시오. 27번 자연수 n 에 대하여 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)=\displaystyle\int _{1}^{x}\dfrac{n-\ln t}{t}dt 의 최댓값을 g(n) 이라 하자. \displaystyle\sum_{n=1}^{12}g(n) 의 값을 구하시오. 28번 그림과 같이 두 초점이 \text{F}(c ,\: 0) , \text{F}^{\prime}(-c ,\: 0)\:(c > 0) 이고, 주축의 길이가 6 인 쌍곡선 \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 과 점 \text{A}(0 ,\: 5) 29번 집합 X = \{ 1, \: 2, \: 3, \: 4 \} 에서 집합 Y = \{ 1, \: 2, \: 3, \: 4, \: 5 \} 로의 함수 중에서 f ( 1 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) - f ( 4 ) = 3m \: \left(m \text{은 정수}\righ 30번 함수 f(x)=e^{x}\left(ax^{3}+bx^{2}\right) 과 양의 실수 t 에 대하여 닫힌 구간 [ -t ,\: t] 에서 함수 f(x) 의 최댓값을 M(t) , 최솟값을 m(t) 라 할 때, 두 함수 M(t) , m(t) 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든