(2020년 시행) 2021학년도 고3 6월 평가원 모의고사 (가형)

1번 \sqrt[3]{8}\times4^{\frac{3}{2}} 의 값은? ① 1 ② 2 ③ 4 ④ 8 ⑤ 16 2번 \lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt{9n^{2}+12n}-3n\right) 의 값은? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5 3번 첫째항이 1 이고 공비가 양수인 등비수열 \left\{a_{n}\right\} 에 대하여 a_{3}=a_{2}+6 일 때, a_{4} 의 값은? ① 18 ② 21 ③ 24 ④ 27 ⑤ 30 4번 6 개의 문자 a , a , a , b , b , c 를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는? ① 52 ② 56 ③ 60 ④ 64 ⑤ 68 5번 수열 \left\{a_{n}\right\} 에 대하여 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_{n}}{n}=10 일 때, \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n}+2{a_{n}}^{2}+3n^{2}}{{a_{n}}^{2 6번 두 양수 a , b 에 대하여 좌표평면 위의 두 점 \left(2,\:\log _{4} a\right) , \left(3,\:\log _{2} b\right) 를 지나는 직선이 원점을 지날 때, \log _{a} b 의 값은? \left(\text{단},\:a \ne 1\rig 7번 함수 f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\cfrac{2\times\left(\cfrac{x}{4}\right)^{2n+1}-1}{\left(\cfrac{x}{4}\right)^{2n}+3} 에 대하여 f(k)=-\dfrac{1}{3} 을 만족시키는 정수 k 의 8번 1 학년 학생 2 명, 2 학년 학생 2 명, 3 학년 학생 3 명이 있다. 이 7 명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 모두 둘러앉을 때, 1 학년 학생끼리 이웃하고 2 학년 학생끼리 이웃하게 되는 경우의 수는? \left(\text{단, 회전하여 일치하는 것은 9번 함수 f(x)=2 \log _{\frac{1}{2}}(x+k) 가 닫힌구간 [0,\:12] 에서 최댓값 -4 , 최솟값 m 을 갖는다. k+m 의 값은? \left(\text{단},\: k\text{는 상수이다.}\right) ① -1 ② -2 ③ -3 ④ -4 ⑤ -5 10번 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 f(x) 가 모든 실수 x 에 대하여 \left(e^{2x}-1\right)^{2} f(x)=a-4\cos\dfrac{\pi}{2} x 를 만족시킬 때, a\times f(0) 의 값은? \left(\text{단},\:a\text{는 상수이다. 11번 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x) 에 대하여 함수 g(x) 를 g(x)=\dfrac{f(x)}{\left(e^{x}+1\right)^{2}} 라 하자. f^{\prime}(0) - f(0)=2 일 때, g^{\prime}(0) 의 값은? ① \dfrac{1}{4} 12번 자연수 n 이 2 \le n \le 11 일 때, -n^{2}+9 n-18 의 n 제곱근 중에서 음의 실수가 존재하도록 하는 모든 n 의 값의 합은? ① 31 ② 33 ③ 35 ④ 37 ⑤ 39 13번 한 개의 주사위를 두 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 a , b 라 할 때, |a-3|+|b-3|=2 이거나 a=b 일 확률은? ① \dfrac{1}{4} ② \dfrac{1}{3} ③ \dfrac{5}{12} ④ \dfrac{1}{2} ⑤ \dfrac{7}{12} 14번 0\le\theta < 2\pi 일 때, x 에 대한 이차방정식 x^{2}-(2\sin\theta) x-3\cos ^{2}\theta-5\sin\theta+5=0 이 실근을 갖도록 하는 \theta 의 최솟값과 최댓값을 각각 \alpha , \beta 라 하자. 4\beta-2 15번 수열 \left\{a_{n}\right\} 의 일반항은 a_{n}=\left(2^{2 n}-1\right) \times 2^{n(n-1)}+(n-1) \times 2^{-n} 이다. 다음은 모든 자연수 n 에 대하여 \displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_{k} 16번 양수 t 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 실수 k 의 값을 f(t) 라 하자. 직선 x=k 와 두 곡선 y=e^{\frac{x}{2}} , y=e^{\frac{x}{2}+3t} 이 만나는 점을 각각 \text{P} , \text{Q} 라 하고, 점 \text{Q} 를 지나고 17번 숫자 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 이 하나씩 적혀 있는 7 장의 카드가 있다. 이 7 장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 임의로 나열할 때, 다음 조건을 만족시킬 확률은? (가) 4 가 적혀 있는 카드의 바로 양옆에는 각각 4 보다 큰 수가 적혀 있는 18번 두 곡선 y=2^{x} 과 y=-2 x^{2}+2 가 만나는 두 점을 \left(x_{1},\:y_{1}\right) , \left(x_{2},\:y_{2}\right) 라 하자. x_{1} < x_{2} 일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보기> ㄱ. 19번 두 집합 A=\{1,\:2,\:3,\:4\} , B=\{1,\:2,\:3\} 에 대하여 A 에서 B 로의 모든 함수 f 중에서 임의로 하나를 선택할 때, 이 함수가 다음 조건을 만족시킬 확률은? f(1) \ge 2 이거나 함수 f 의 치역은 B 이다. ① \dfrac{16}{2 20번 ① \dfrac{27 \sqrt{3}}{46} ② \dfrac{15 \sqrt{3}}{23} ③ \dfrac{33 \sqrt{3}}{46} ④ \dfrac{18 \sqrt{3}}{23} ⑤ \dfrac{39 \sqrt{3}}{46} 21번 수열 \left\{a_{n}\right\} 의 일반항은 a_{n}=\log _{2} \sqrt{\dfrac{2(n+1)}{n+2}} 이다. \displaystyle \sum_{k=1}^{m} a_{k} 의 값이 100 이하의 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 m 의 값의 합은? 22번 다항식 (1+2x)^{4} 의 전개식에서 x^{2} 의 계수를 구하시오. 23번 반지름의 길이가 15 인 원에 내접하는 삼각형 \text{ABC} 에서 \sin B=\dfrac{7}{10} 일 때, 선분 \text{AC} 의 길이를 구하시오. 24번 수열 \left\{a_{n}\right\} 은 a_{1}=9 , a_{2}=3 이고, 모든 자연수 n 에 대하여 a_{n+2}=a_{n+1}-a_{n} 을 만족시킨다. \left|a_{k}\right|=3 을 만족시키는 100 이하의 자연수 k 의 개수를 구하시오. 25번 곡선 x^{3}-y^{3}=e^{xy} 위의 점 (a,\: 0) 에서의 접선의 기울기가 b 일 때, a+b 의 값을 구하시오. 26번 공차가 2 인 등차수열 \left\{a_{n}\right\} 의 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 S_{n} 이라 하자. S_{k}=-16 , S_{k+2}=-12 를 만족시키는 자연수 k 에 대하여 a_{2k} 의 값을 구하시오. 27번 주머니에 숫자 1 , 2 , 3 , 4 가 하나씩 적혀 있는 흰 공 4 개와 숫자 3 , 4 , 5 , 6 이 하나씩 적혀 있는 검은 공 4 개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 4 개의 공을 동시에 꺼내는 시행을 한다. 이 시행에서 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 같은 것이 있을 28번 그림과 같이 \overline{\text{AB}}=1 , \overline{\text{BC}}=2 인 두 선분 \text{AB} , \text{BC} 에 대하여 선분 \text{BC} 의 중점을 \text{M} , 점 \text{M} 에서 선분 \text{AB} 에 내린 수선의 29번 검은색 볼펜 1 자루, 파란색 볼펜 4 자루, 빨간색 볼펜 4 자루가 있다. 이 9 자루의 볼펜 중에서 5 자루를 선택하여 2 명의 학생에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. \left(\text{단, 같은 색 볼펜끼리는 서로 구별하지 않고},\right.\\ \le 30번 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x) 는 0\le x < 3 일 때 f(x)=|x-1|+|x-2| 이고, 모든 실수 x 에 대하여 f(x+3)=f(x) 를 만족시킨다. 함수 g(x) 를 g(x)=\lim\limits_{h\to 0+}\left|\dfrac{f\left(2^