2021년 고3 10월 모의고사 (공통)

1번 \log _{ 3 } x = 3 일 때, x 의 값은? ① 1 ② 3 ③ 9 ④ 27 ⑤ 81 2번 \displaystyle\int _{ 0 } ^ { 3 } ( x + 1 ) ^ { 2 } dx 의 값은? ① 12 ② 15 ③ 18 ④ 21 ⑤ 24 3번 함수 y = \tan \left( \pi x + \dfrac { \pi } { 2 } \right) 의 주기는? ① \dfrac { 1 } { 2 } ② \dfrac {\pi } { 4 } ③ 1 ④ \dfrac { 3 } { 2 } ⑤ \dfrac { \pi} { 2 } 4번 공차가 d 인 등차수열 \left\{ a _{ n } \right\} 의 첫째항부터 제 n 항까지의 합이 n ^ { 2 } - 5n 일 때, a _{ 1 } + d 의 값은? ① -4 ② -2 ③ 0 ④ 2 ⑤ 4 5번 함수 y = f ( x ) 의 그래프가 그림과 같다. contenthub figure 함수 \left(x ^ { 2 } + ax + b\right) f ( x ) 가 x = 1 에서 연속일 때, a + b 의 값은? (단, a , b 는 실수이다.) ① -2 ② -1 ③ 0 ④ 6번 곡선 y = 6 ^ { - x } 위의 두 점 \mathrm{A} \left( a,\:6 ^ { - a } \right) , \mathrm{B} \left( a + 1,\:6 ^ { - a - 1 } \right) 에 대하여 선분 \mathrm{AB} 는 한 변의 길이가 1 인 7번 두 함수 f ( x ) = | x + 3 | , g ( x ) = 2x + a 에 대하여 함수 f ( x ) g ( x ) 가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 상수 a 의 값은? ① 2 ② 4 ③ 6 ④ 8 ⑤ 10 8번 2 보다 큰 상수 k 에 대하여 두 곡선 y=\left|\log _{2}(-x+k)\right| , y=\left|\log _{2}x\right| 가 만나는 세 점 \mathrm{P} , \mathrm{Q} , \mathrm{R} 의 x 좌표를 각각 x_{1} , x_{2} , 9번 수열 \{ a _{ n } \} 이 모든 자연수 n 에 대하여 a _{ n } + a _{ n + 1 } = 2n 을 만족시킬 때, a _{ 1 } + a _{ 22 } 의 값은? ① 18 ② 19 ③ 20 ④ 21 ⑤ 22 10번 최고차항의 계수가 1 인 이차함수 f ( x ) 와 3 보다 작은 실수 a 에 대하여 함수 g ( x ) = | ( x - a ) f ( x ) | 가 x = 3 에서만 미분가능하지 않다. 함수 g ( x ) 의 극댓값이 32 일 때, f ( 4 ) 의 값은? ① 7 ② 9 ③ 11번 집합 \{x|0\le x\le 2\pi\} 에서 정의된 함수 f ( x ) 는 f ( x ) = \begin{cases} \sin x& \left( 0 \le x \le \dfrac { k } { 6 } \pi\right)\\ 2\sin \left( \dfrac { k } { 12번 곡선 y=x^{2}-4 위의 점 \mathrm{P}\left(t ,\: t^{2}-4\right) 에서 원 x^{2}+y^{2}=4 에 그은 두 접선의 접점을 각각 \mathrm{A} , \mathrm{B} 라 하자. 삼각형 \mathrm{OAB} 의 넓이를 S(t) , 삼각형 13번 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f ( x ) 와 역함수가 존재하는 삼차함수 g ( x ) = x ^ { 3 } + ax ^ { 2 } + bx + c 가 다음 조건을 만족시킨다. 모든 실수 x 에 대하여 2f ( x ) = g ( x ) - g ( - x ) 이다. <보기> 14번 모든 자연수 n 에 대하여 직선 l : x - 2y + \sqrt { 5 } = 0 위의 점 \mathrm{P} _{ n } 과 x 축 위의 점 \mathrm{Q} _{ n } 이 다음 조건을 만족시킨다. \bullet 직선 \mathrm{P} _{ n } \mathrm{Q} 15번 최고차항의 계수가 4 이고 f ( 0 ) = f ^ { \prime } ( 0 ) = 0 을 만족시키는 삼차함수 f ( x ) 에 대하여 함수 g ( x ) 를 g ( x ) = \begin{cases} { \displaystyle\int _{ 0 } ^ { x } f ( t 16번 함수 f(x)=2x^{2}+ax+3 에 대하여 x=2 에서의 미분계수가 18 일 때, 상수 a 의 값을 구하시오. 17번 수직선 위를 움직이는 점 \mathrm{P} 의 시각 t \:( t \ge 0 ) 에서의 속도 v ( t ) 가 v ( t ) = 12 - 4t 일 때, 시각 t = 0 에서 t = 4 까지 점 \mathrm{P} 가 움직인 거리를 구하시오. 18번 그림과 같이 3 이상의 자연수 n 에 대하여 두 곡선 y = n ^ { x } , y = 2 ^ { x } 이 직선 x = 1 과 만나는 점을 각각 \mathrm{A} , \mathrm{B} 라 하고, 두 곡선 y = n ^ { x } , y = 2 ^ { x } 이 직선 x 19번 수열 \left\{a_{n}\right\} 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) a_{n+2}=\begin{cases}a_{n}-3&(n=1 ,\: 3)\\a_{n}+3&(n=2 ,\: 4)\end{cases} (나) 모든 자연수 n 에 대하여 a_{n}=a_{n+6} 이 성립한 20번 최고차항의 계수가 1 인 삼차함수 f(x) 가 f(0)=0 이고, 모든 실수 x 에 대하여 f(1-x)=-f(1+x) 를 만족시킨다. 두 곡선 y=f(x) 와 y=-6x^{2} 으로 둘러싸인 부분의 넓이를 S 라 할 때, 4S 의 값을 구하시오. 21번 \overline{\mathrm{AB}}=6 , \overline{\mathrm{AC}}=8 인 예각삼각형 \mathrm{ABC} 에서 \angle \mathrm{A} 의 이등분선과 삼각형 \mathrm{ABC} 의 외접원이 만나는 점을 \mathrm{D} , 점 \mathrm 22번 양수 a 에 대하여 최고차항의 계수가 1 인 삼차함수 f ( x ) 와 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 g ( x ) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 x 에 대하여 | x ( x - 2 ) | g ( x ) = x ( x - 2 ) ( | f ( x ) | -