2023년 고3 10월 모의고사 (공통)

1번 2^{\sqrt{2}}\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}-1} 의 값은? ① 1 ② \sqrt{2} ③ 2 ④ 2\sqrt{2} ⑤ 4 2번 함수 f(x)=2 x^{3}+3 x 에 대하여 \lim\limits _{h \to 0} \dfrac{f(2 h)-f(0)}{h} 의 값은? ① 0 ② 2 ③ 4 ④ 6 ⑤ 8 3번 공차가 3 인 등차수열 \left\{a_{n}\right\} 과 공비가 2 인 등비수열 \left\{b_{n}\right\} 이 a_{2}=b_{2} , a_{4}=b_{4} 를 만족시킬 때, a_{1}+b_{1} 의 값은? ① -2 ② -1 ③ 0 ④ 1 ⑤ 2 4번 두 자연수 m , n 에 대하여 함수 f(x)=x(x-m) (x-n) 이 f(1) f(3) < 0 , f(3) f(5) < 0 을 만족시킬 때, f(6) 의 값은? ① 30 ② 36 ③ 42 ④ 48 ⑤ 54 5번 \pi <\theta <\dfrac{3}{2}\pi 인 \theta 에 대하여 \dfrac{1}{1-\cos\theta}+\dfrac{1}{1+\cos\theta}=18 일 때, \sin\theta 의 값은? ① -\dfrac{2}{3} ② -\dfrac{1}{3} ③ 0 ④ 6번 곡선 y=\dfrac{1}{3} x^{2}+1 과 x 축, y 축 및 직선 x=3 으로 둘러싸인 부분의 넓이는? contenthub figure ① 6 ② \dfrac{20}{3} ③ \dfrac{22}{3} ④ 8 ⑤ \dfrac{26}{3} 7번 등차수열 \left\{a_{n}\right\} 의 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 S_{n} 이라 할 때, S_{7}-S_{4}=0 , S_{6}=30 이다. a_{2} 의 값은? ① 6 ② 8 ③ 10 ④ 12 ⑤ 14 8번 두 함수 f(x)=-x^{4}-x^{3}+2x^{2} , g(x)=\dfrac{1}{3} x^{3}-2x^{2}+a 가 있다. 모든 실수 x 에 대하여 부등식 f(x)\le g(x) 가 성립할 때, 실수 a 의 최솟값은? ① 8 ② \dfrac{26}{3} ③ \dfrac{28 9번 자연수 n\:(n \ge 2) 에 대하여 n^{2}-16 n+48 의 n 제곱근 중 실수인 것의 개수를 f(n) 이라 할 때, \displaystyle \sum_{n=2}^{10} f(n) 의 값은? ① 7 ② 9 ③ 11 ④ 13 ⑤ 15 10번 실수 t\:(t > 0) 에 대하여 직선 y=tx+t+1 과 곡선 y=x^{2}-tx-1 이 만나는 두 점을 \mathrm{A} , \mathrm{B} 라 할 때, \lim\limits_{t\to\infty}\dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{t^{2}} 의 11번 그림과 같이 두 상수 a , b 에 대하여 함수 f(x)=a\sin\dfrac{\pi x}{b}+1\:\left(0\le x\le\dfrac{5}{2} b\right) 의 그래프와 직선 y=5 가 만나는 점을 x 좌표가 작은 것부터 차례로 \mathrm{A} , \mathrm{ 12번 양수 k 에 대하여 함수 f(x) 를 f(x)=\left|x^{3}-12 x+k\right| 라 하자. 함수 y=f(x) 의 그래프와 직선 y=a\:(a \ge 0) 이 만나는 서로 다른 점의 개수가 홀수가 되도록 하는 실수 a 의 값이 오직 하나일 때, k 의 값은? ① 8 13번 그림과 같이 두 상수 a\:(a > 1) , k 에 대하여 두 함수 y=a^{x+1}+1 , y=a^{x-3}-\dfrac{7}{4} 의 그래프와 직선 y=-2x+k 가 만나는 점을 각각 \mathrm{P} , \mathrm{Q} 라 하자. 점 \mathrm{Q} 를 지나고 x 14번 최고차항의 계수가 1 이고 f^{\prime}(2)=0 인 이차함수 f(x) 가 모든 자연수 n 에 대하여 \displaystyle\int _{4}^{n} f(x) dx\ge 0 을 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보기> ㄱ. f(2) < 0 ㄴ 15번 모든 항이 자연수인 수열 \left\{a_{n}\right\} 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 자연수 n 에 대하여 a_{n+1}=\begin{cases}\dfrac{1}{2} a_{n}+2n&\left(a_{n}\text{이}\:4\text{\text{의 배수인 경우 16번 방정식 \log _{2}(x-2)=1+\log _{4}(x+6) 을 만족시키는 실수 x 의 값을 구하시오. 17번 삼차함수 f(x) 에 대하여 함수 g(x) 를 g(x)=(x+2) f(x) 라 하자. 곡선 y=f(x) 위의 점 (3,\:2) 에서의 접선의 기울기가 4 일 때, g^{\prime}(3) 의 값을 구하시오. 18번 두 수열 \left\{a_{n}\right\} , \left\{b_{n}\right\} 에 대하여 \displaystyle\sum_{k=1}^{10}\left(a_{k}-b_{k}+2\right)=50 , \displaystyle\sum_{k=1}^{10}\left(a_{k}- 19번 시각 t=0 일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 \mathrm{P} , \mathrm{Q} 의 시각 t\:(t \ge 0) 에서의 속도가 각각 v_{1}(t)=12 t-12 , v_{2}(t)=3 t^{2}+2 t-12 이다. 시각 t=k\:(k > 0) 20번 다항함수 f(x) 가 모든 실수 x 에 대하여 2x^{2} f(x)=3\displaystyle\int _{0}^{x}(x-t)\{f(x)+f(t)\} dt 를 만족시킨다. f^{\prime}(2)=4 일 때, f(6) 의 값을 구하시오. 21번 그림과 같이 선분 \mathrm{BC} 를 지름으로 하는 원에 두 삼각형 \mathrm{ABC} 와 \mathrm{ADE} 가 모두 내접한다. 두 선분 \mathrm{AD} 와 \mathrm{BC} 가 점 \mathrm{F} 에서 만나고 \overline{\mathrm{BC}} 22번 삼차함수 f(x) 에 대하여 구간 (0,\:\infty) 에서 정의된 함수 g(x) 를 g(x)=\begin{cases} x^{3}-8x^{2}+16x&(0 < x\le 4)\\ f(x)&(x > 4)\end{cases} 라 하자. 함수 g(x) 가 구간 (0,\:\infty)