2016년 고3 3월 모의고사 (나형)

1번 \left(4^{\frac{3}{4}}\right)^{\frac{2}{3}} 의 값은? ① \dfrac{1}{8} ② \dfrac{1}{4} ③ \dfrac{1}{2} ④ 2 ⑤ 4 2번 \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{\sqrt{4n^{2}+4n+3}}{n} 의 값은? ① \sqrt{2} ② 2 ③ 2\sqrt{2} ④ 4 ⑤ 4\sqrt{2} 3번 등비수열 \left\{a_{n}\right\} 에 대하여 a_{2}=4 , a_{4}=8 일 때, a_{6} 의 값은? ① 10 ② 12 ③ 14 ④ 16 ⑤ 18 4번 전체집합 U=\left\{x\middle|x \text{는}\:10\:\text{이하의 자연수}\right) 의 두 부분집합 A=\{1 ,\: 2 ,\: 3 ,\: 4 ,\: 5 ,\: 6,\: 7\} , B=\{1 ,\: 3 ,\: 5 ,\: 7 ,\: 9\} 에 대하여 집합 5번 양수 a 에 대하여 \log _{2} \dfrac{a}{4}=b 일 때, \dfrac{2^{b}}{a} 의 값은? ① \dfrac{1}{16} ② \dfrac{1}{8} ③ \dfrac{1}{4} ④ \dfrac{1}{2} ⑤ 1 6번 두 집합 X=\{1 ,\: 2 ,\: 3\} , Y=\{1 ,\: 2 ,\: 3 ,\: 4\} 에 대하여 집합 X 에서 집합 Y 로의 일대일함수를 f(x) 라 하자. f(2)=4 일 때, f(1)+f(3) 의 최댓값은? ① 3 ② 4 ③ 5 ④ 6 ⑤ 7 7번 어느 고등학교 3 학년 1 반 학생 33 명을 대상으로 책 \text{A} , 책 \text{B} 를 읽었는지 조사하였다. 책 \text{A} 를 읽지 않고 책 \text{B} 만 읽은 학생이 15 명일 때, 책 \text{A} 와 책 \text{B} 를 모두 읽은 학생 수의 8번 1 이 아닌 두 양수 a , b 에 대하여 7\log a=2\log b 일 때, \dfrac{8}{21}\log _{a}b 의 값은? ① \dfrac{1}{3} ② \dfrac{2}{3} ③ 1 ④ \dfrac{4}{3} ⑤ \dfrac{5}{3} 9번 유리함수 y=\dfrac{5}{x-p}+2 의 그래프가 제 3 사분면을 지나지 않도록 하는 정수 p 의 최솟값은? ① 3 ② 4 ③ 5 ④ 6 ⑤ 7 10번 x 에 대한 이차방정식 nx^{2}-\left(2n^{2}-n\right)x-5=0 의 두 근의 합을 a_{n}\: \left(n\text{은 자연수}\right) 라 하자. \displaystyle\sum_{k=1}^{10}a_{k} 의 값은? ① 88 ② 91 ③ 94 ④ 11번 두 집합 A = \left\{ x\middle | x\text{는 자연수}\right\} , B = \{ 0,\:1,\:2,\:3 \} 에 대하여 두 함수 f : A \to A , g : A \to B 가 f ( x ) = mx g ( x ) = \left(x\text{를}\: 12번 그림과 같이 곡선 y=f(x) 와 직선 y=g(x) 가 원점과 점 (3 ,\: 3) 에서 만난다. h(x)=\lim\limits _{n\to \infty}\dfrac{\{f(x)\}^{n+1}+5\{g(x)\}^{n}}{\{f(x)\}^{n}+\{g(x)\}^{n}} 일 때, 13번 점 \text{Q} _{ n } 의 y 좌표를 a _{ n } 이라 할 때, f ^ { - 1 } \left( a _{ 2 } \right) \cdot f ^ { - 1 } \left( a _{ 9 } \right) 의 값은? ① \dfrac { 7 \sqrt { 2 } } { 14번 곡선 y = f ( x ) 위의 점 \text{R}_{n} 은 직선 \text{P}_{n}\text{R}_{n} 의 기울기가 음수이고 y 좌표가 자연수인 점이다. 삼각형 \text{P}_{n}\text{OQ}_{n} 의 넓이를 S_{n} , 삼각형 \text{P}_{n}\tex 15번 무리함수 f(x)=\sqrt{x-k} 에 대하여 좌표평면에 곡선 y=f(x) 와 세 점 \text{A}(1 ,\: 6) , \text{B}(7 ,\: 1) , \text{C}(8 ,\: 9) 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 \text{ABC} 가 있다. 곡선 y=f(x) 와 함수 f 16번 다음은 모든 자연수 n 에 대하여 \displaystyle\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}k^{2}=(−1)^{n+1}\cdot \dfrac{n(n+1) } {2}\quad\cdots\cdots(\ast) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (ⅰ) n=1 17번 두 양수 a , b 에 대하여 한 변의 길이가 a+b 인 정사각형 \text{ABCD} 의 네 변 \text{AB} , \text{BC} , \text{DC} , \text{DA} 를 각각 a : b 로 내분하는 점을 \text{E} , \text{F} , \text{G} , 18번 한 변의 길이가 4 인 정사각형이 있다. 그림과 같이 지름이 2 인 두 원이 서로 한 점 \text{P}_{1} 에서 만나고 정사각형의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형의 네 변 중 원과 접하지 않는 변의 중점을 \text{Q}_{1} 이라 하고, 선분 \text{P}_ 19번 이차함수 f(x) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) f(0)=f(2)=0 (나) 이차방정식 f(x) - 6(x-2)=0 의 실근의 개수는 1 이다. 방정식 (f\circ f) (x)=-3 의 서로 다른 실근을 모두 곱한 값은? ① -\dfrac{1}{3} ② -\dfrac{2 20번 자연수 n 에 대하여 \left|\left(n+\dfrac{1}{2}\right)^{2}-m\right| < \dfrac{1}{2} 을 만족시키는 자연수 m 을 a_{n} 이라 하자. \displaystyle\sum_{k=1}^{5}a_{k} 의 값은? ① 65 ② 70 ③ 7 21번 수열 \left\{ a_ { n } \right\} 에 대하여 집합 A = \left\{ x \middle | x ^ { 2 } - 1 < a < x ^ { 2 } + 2x ,\:x \text{는 자연수}\right\} 가 공집합이 되도록 하는 자연수 a 를 작은 수부터 크기순 22번 \log _{4}a=\dfrac{7}{2} 일 때, a 의 값을 구하시오. 23번 수열 \{ a _{ n } \} 이 \displaystyle \sum _{ k = 1 } ^ { n } a _{ k } = 2n - 1 을 만족시킬 때, a _{ 10 } 의 값을 구하시오. 24번 100 이하의 자연수 n 에 대하여 \sqrt[3]{4^{n}} 이 정수가 되도록 하는 n 의 개수를 구하시오. 25번 실수 전체의 집합 R 의 두 부분집합 A = \left\{ x \middle | x ^ { 2 } - x - 12 \le 0 \right\} , B = \left\{x \middle | x < a \:\text{또는}\: x > b \right\} 가 다음 조건을 만족시킨다. 26번 자연수 n 에 대하여 곡선 y=x^{2}-\left(4+\dfrac{1}{n}\right)x+\dfrac{4}{n} 와 직선 y=\dfrac{1}{n}x+1 이 만나는 두 점을 각각 \text{P}_{n} , \text{Q}_{n} 이라 하자. 삼각형 \text{OP}_{n}\ 27번 전체집합 U =\left \{ x\middle | x\text{는}\:8\:\text{이하의 자연수}\right\} 에 대하여 조건 ' p : x ^ { 2 } \le 2x + 8 '의 진리집합을 P , 두 조건 q , r 의 진리집합을 각각 Q , R 라 하자. 두 명제 p 28번 두 함수 f(x)=\begin{cases} x^{2} + 2ax +6&(x < 0)\\ x +6&(x \ge 0)\end{cases} , g ( x ) = x + 10 에 대하여 합성함수 (g \circ f )( x ) 의 치역이 \left\{ y \middle | y \ge 29번 두 집합 A=\{1 ,\: 2 ,\: 3 ,\: 4\} , B=\{1 ,\: 2 ,\: 3 ,\: 4 ,\: 5 ,\: 6 ,\: 7 ,\: 8\} 에 대하여 집합 P 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) n(P\cap A)=2 (나) P-B=\varnothing (다) 집합 P 30번 유리함수 f(x)=\dfrac{8x}{2x-15} 와 수열 \left\{a_{n}\right\} 에 대하여 a_{n}=f(n) 이다. \displaystyle\sum_{n=1}^{m} a_{n}\le 73 을 만족시키는 자연수 m 의 최댓값을 구하시오.