2016년 고3 4월 모의고사 (가형)

1번 \lim\limits _{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1}{4x} 의 값은? ① \dfrac{1}{5} ② \dfrac{1}{4} ③ \dfrac{1}{3} ④ \dfrac{1}{2} ⑤ 1 2번 \\ _{ n } \text{P} _{ 2 } = 56 일 때, 자연수 n 의 값은? ① 5 ② 6 ③ 7 ④ 8 ⑤ 9 3번 f(x)=\sin x 일 때, f^{\prime}\left(\dfrac{\pi}{3}\right) 의 값은? ① -1 ② -\dfrac{1}{2} ③ 0 ④ \dfrac{1}{2} ⑤ 1 4번 좌표평면에서 두 곡선 y=\log _{2}x , y=\log _{4}x 가 직선 x=16 과 만나는 점을 각각 \text{P} , \text{Q} 라 하자. 두 점 \text{P} , \text{Q} 사이의 거리는? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5 5번 두 사건 A , B 에 대하여 \text{P}\left(A^{C}\right)=\dfrac{1}{4} , \text{P}\left(B\middle| A\right)=\dfrac{1}{6} 일 때, \text{P}(A\cap B) 의 값은? \left(\text{단},\:A^{C 6번 자연수 8 을 세 개의 자연수로 분할하는 방법의 수는? ① 3 ② 4 ③ 5 ④ 6 ⑤ 7 7번 \displaystyle\int _{ \frac { 1 } { 2 } } ^ { 1 } \sqrt { 2x - 1 } dx 의 값은? ① \dfrac { 1 } { 15 } ② \dfrac { 2 } { 15 } ③ \dfrac { 1 } { 5 } ④ \dfrac { 4 } 8번 \sin\theta = \dfrac { \sqrt { 3 } } { 3 } 일 때, 2\sin \left( \theta - \dfrac { \pi } { 6 } \right) + \cos\theta 의 값은? \left(\text{단},\:0 < \theta < \dfrac{\ 9번 실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 f ( x ) 가 \lim\limits _{ x \to 1 } \dfrac { f ( x ) - 2 } { x - 1 } = \dfrac { 1 } { 3 } 을 만족시킨다. f ( x ) 의 역함수를 g ( x ) 라 할 때, g 10번 진동가속도레벨 V \:( \text{dB} ) 는 공해진동에 사용되는 단위로 진동가속도 크기를 의미하며 편진폭 A\: ( \text{m} ) , 진동수 w\:( \text{Hz} ) 에 대하여 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다. V = 20\log \dfrac { Aw ^ 11번 k = 1 일 때, 함수 y = f ( x ) 의 그래프와 포물선 y ^ { 2 } = 4x 의 준선, x 축 및 y 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? ① e-2 ② e-1 ③ e-\dfrac{1}{2} ④ e-\dfrac{1}{e} ⑤ e-\dfrac{1}{2e} 12번 포물선 y ^ { 2 } = 4x 위의 점 ( 4,\:4 ) 에서의 접선이 y 축과 만나는 점을 함수 y = f ( x ) 의 그래프가 지날 때, k 의 값은? ① \ln 2 ② \ln\dfrac{7}{3} ③ \ln\dfrac{8}{3} ④ \ln 3 ⑤ \ln\dfrac{1 13번 그림과 같이 초점이 \text{F} 인 포물선 y ^ { 2 } = 8x 위의 점 \text{P} 에서 x 축에 내린 수선의 발을 \text{H} 라 하자. 삼각형 \text{PFH} 의 넓이가 3 \sqrt { 10 } 일 때, 선분 \text{PF} 의 길이는? \left( 14번 다음은 모든 실수 x 에 대하여 2x-1 \ge ke^{x^{2}} 을 성립시키는 실수 k 의 최댓값을 구하는 과정이다. f(x)=(2x-1)e^{-x^{2}} 이라 하자. f^{\prime}(x)=\left(\fbox{\quad\text{(가)}\quad}\right)\tim 15번 1 부터 7 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 7 개의 공이 들어 있는 상자에서 임의로 1 개의 공을 꺼내는 시행을 반복할 때, 짝수가 적혀 있는 공을 모두 꺼내면 시행을 멈춘다. 5 번째까지 시행을 한 후 시행을 멈출 확률은? (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.) ① \df 16번 함수 f(x)=xe^{-2x+1} 에 대하여 함수 g(x)=\begin{cases}f(x) - a&(x > b)\\0&(x \le b)\end{cases} 가 실수 전체에서 미분가능할 때, 두 상수 a , b 의 곱 ab 의 값은? ① \dfrac{1}{10} ② \dfrac{ 17번 그림과 같이 타원 \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 의 두 초점 중 x 좌표가 양수인 점을 \text{F} , 음수인 점을 \text{F}^{\prime} 이라 하자. 타원 위의 점 \text{P} 에 대하여 선분 \text{PF}^ 18번 양의 실수 t 에 대하여 곡선 y=\ln x 위의 두 점 \text{P}(t,\:\ln t) , \text{Q}(2t,\:\ln 2t) 에서의 접선이 x 축과 만나는 점을 각각 \text{R}(r(t),\:0) , \text{S}(s(t),\:0) 이라 하자. 함수 f(t) 를 19번 그림과 같이 함수 f(x)=\sqrt{x\left(x^{2}+1\right)\sin \left(x^{2}\right)}\:\left(0 \le x \le \sqrt{\pi}\right) 에 대하여 곡선 y=f(x) 와 x 축으로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 20번 ① \dfrac{1}{6} ② \dfrac{3}{14} ③ \dfrac{11}{42} ④ \dfrac{13}{42} ⑤ \dfrac{5}{14} 21번 닫힌 구간 [ - 2,\:2 ] 에서 정의된 함수 f ( x ) 는 f ( x ) = \begin{cases} x + 2&( - 2 \le x \le 0 ) \\ - x + 2&( 0 < x \le 2 ) \end{cases} 이다. 좌표평면에서 k > 1 인 실수 k 에 대하 22번 다항식 (2x+1)^{5} 의 전개식에서 x^{3} 의 계수를 구하시오. 23번 두 사건 A , B 가 서로 배반사건이고 \text{P}(A\cup B)=0.85 , \text{P}(A)=0.24 일 때, \text{P}(B) 의 값은 \alpha 이다. 100\alpha 의 값을 구하시오. 24번 쌍곡선 \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 이 점 (5 ,\: 3) 을 지나고 두 점근선의 방정식이 y=x , y=-x 이다. 이 쌍곡선의 주축의 길이를 구하시오. \left (\text{단},\:a,\:b\text{는 상수이다}.\r 25번 \displaystyle\int _{1}^{5}\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x}\right)dx=\ln \alpha 일 때, 실수 \alpha 의 값을 구하시오. 26번 x 에 대한 방정식 \left| \cos x + \dfrac { 1 } { 4 } \right| = k 가 서로 다른 3 개의 실근을 갖도록 하는 실수 k 의 값을 \alpha 라 할 때, 40\alpha 의 값을 구하시오. \left(\text{단},\:0 \le x < 2\ 27번 모든 실수 x 에 대하여 연속인 함수 f(x) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 x 에 대하여 f(x+2)=f(x) 이다. (나) 0 \le x \le 1 일 때, f(x)=\sin \pi x+1 이다. (다) 1 < x < 2 일 때, f ^{\prime} (x) 28번 다음 조건을 만족시키는 자연수 x , y , z , w 의 모든 순서쌍 ( x,\:y,\:z,\:w ) 의 개수를 구하시오. (가) x + y + z + w = 18 (나) x , y , z , w 중에서 2 개는 3 으로 나눈 나머지가 1 이고, 2 개는 3 으로 나눈 나머지 29번 그림과 같이 길이가 2 인 선분 \text{AB} 를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 \text{AB} 위의 한 점 \text{P} 에 대하여 \angle \text{PAB} = \theta 라 하자. 선분 \text{PB} 의 중점 \text{M} 에서 선분 \text{PB} 30번 좌표평면에서 x , y 에 대한 연립부등식 \begin{cases}x \ge 0\\y \ge \left|e^{x}-2\right|\end{cases} 가 나타내는 영역을 D 라 하자. 양의 실수 t 에 대하여 영역 D 의 서로 다른 네 점을 꼭짓점으로 하는 정사각형 A 가 다음