2017년 고3 3월 모의고사 (가형)

1번 \sin \dfrac{7}{6}\pi 의 값은? ① -\dfrac{\sqrt{3}}{2} ② -\dfrac{\sqrt{2}}{2} ③ -\dfrac{1}{2} ④ \dfrac{1}{2} ⑤ \dfrac{\sqrt{2}}{2} 2번 \\_{6}\text{C} _{ 3 } 의 값은? ① 12 ② 14 ③ 16 ④ 18 ⑤ 20 3번 함수 f(x)=e^{x^{2}-1} 에 대하여 f^{\prime}(1) 의 값은? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5 4번 \displaystyle\int _{1}^{e^{2}}\dfrac{(\ln x)^{3}}{x}dx 의 값은? ① 2\ln 2 ② 2 ③ 4\ln 2 ④ 4 ⑤ 6\ln 2 5번 좌표평면에서 곡선 y=a^{x} 을 직선 y=x 에 대하여 대칭이동한 곡선이 점 (2 ,\: 3) 을 지날 때, 양수 a 의 값은? ① \sqrt{3} ② \log _{2}3 ③ \sqrt[4]{3} ④ \sqrt[3]{2} ⑤ \log _{3}2 6번 함수 y=a\sin \dfrac{\pi}{2b}x 의 최댓값은 2 이고 주기는 2 이다. 두 양수 a , b 의 합 a+b 의 값은? ① 2 ② \dfrac{17}{8} ③ \dfrac{9}{4} ④ \dfrac{19}{8} ⑤ \dfrac{5}{2} 7번 좌표평면에서 자연수 n 에 대하여 두 곡선 y = \log _{ 2 } x , y = \log _{ 2 } \left( 2 ^ { n } - x \right) 가 만나는 점의 x 좌표를 a _{ n } 이라 할 때, \displaystyle\sum _{ n = 1 } ^ { 5 8번 곡선 y = ( \ln x ) ^ { 2 } - x + 1 의 변곡점에서의 접선의 기울기는? ① \dfrac { 1 } { e } - 1 ② \dfrac { 2 } { e } - 1 ③ \dfrac { 1 } { e } ④ \dfrac { 2 } { e } + 1 ⑤ \dfra 9번 곡선 y=\sin ^{2}x\cos x\:\left(0 \le x \le \dfrac{\pi}{2}\right) 와 x 축으로 둘러싸인 도형의 넓이는? ① \dfrac{1}{4} ② \dfrac{1}{3} ③ \dfrac{1}{2} ④ 1 ⑤ 2 10번 점 \text{O} 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 각각 1 , \sqrt { 2 } 인 두 원 C_{ 1 } , C _{ 2 } 가 있다. 원 C_{ 1 } 위의 두 점 \text{P} , \text{Q} 와 원 C _{ 2 } 위의 점 \text{R} 에 대하여 \angl 11번 그림과 같이 두 곡선 y = \log _{ a } x , y =\log _{ b } x \:( 1 < a < b ) 와 직선 y = 1 이 만나는 점을 \text{A} _{ 1 } , \text{B} _{ 1 } 이라 하고, 직선 y = 2 가 만나는 점을 \text{A} _{ 12번 c < b < a < 10 인 자연수 a , b , c 에 대하여 백의 자리의 수, 십의 자리의 수, 일의 자리의 수가 각각 a , b , c 인 세 자리의 자연수 중 500 보다 크고 700 보다 작은 모든 자연수의 개수는? ① 12 ② 14 ③ 16 ④ 18 ⑤ 20 13번 좌표평면 위의 한 점 \text{P}(t ,\: 0) 을 지나는 직선 x=t 와 두 곡선 y=\ln x , y=-\ln x 가 만나는 점을 각각 \text{A} , \text{B} 라 하자. 삼각형 \text{AQB} 의 넓이가 1 이 되도록 하는 x 축 위의 점을 \text{ 14번 모든 실수 x 에 대하여 f(x+2)=f(x) 이고, 0 \le x < 2 일 때 f(x)=\dfrac{(x-a)^{2}}{x+1} 인 함수 f(x) 가 x=0 에서 극댓값을 갖는다. 구간 [0,\:2) 에서 극솟값을 갖도록 하는 모든 정수 a 의 값의 곱은? ① -3 ② -2 15번 여학생 3 명과 남학생 6 명이 원탁에 같은 간격으로 둘러앉으려고 한다. 각각의 여학생 사이에는 1 명 이상의 남학생이 앉고 각각의 여학생 사이에 앉은 남학생의 수는 모두 다르다. 9 명의 학생이 모두 앉는 경우의 수가 n\times 6! 일 때, 자연수 n 의 값은? (단, 16번 연속함수 f(x) 가 \displaystyle\int _{-1}^{1}f(x)dx=12 , \displaystyle\int _{0}^{1}xf(x)dx=\int _{0}^{-1}xf(x)dx 를 만족시킨다. \displaystyle\int _{-1}^{x}f(t)dt=F(x) 17번 그림과 같이 반지름의 길이가 1 이고 중심각의 크기가 \dfrac { \pi } { 2 } 인 부채꼴 \text{OAB} 가 있다. 호 \text{AB} 위의 점 \text{P} 에 대하여 점 \text{B} 에서 선분 \text{OP} 에 내린 수선의 발을 \text{Q} , 18번 그림은 함수 f(x)=x^{2}e^{-x+2} 의 그래프이다. contenthub figure 함수 y=(f\circ f) (x) 의 그래프와 직선 y=\dfrac{15}{e^{2}} 의 교점의 개수는? \left (\text{단},\:\lim\limits_{x\to\infty 19번 곡선 y=e^{x} 과 y 축 및 직선 y=e 로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 y 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형일 때, 이 입체도형의 부피는? contenthub figure ① \dfrac{\sqrt{3}(e+1)}{4} ② 20번 그림과 같이 가로로 n 개, 세로로 2 개씩 총 2n 개의 크기가 같은 정사각형 모양의 타일을 이어 붙인다. contenthub figure 이 타일 중에서 3 개를 골라 검은색으로 칠하되, 검은색으로 칠한 타일이 서로 이어 붙지 않게 하려고 한다. 다음은 검은색으로 칠한 타일 21번 구간 [ 0,\:1 ] 에서 정의된 연속함수 f ( x ) 에 대하여 함수 F ( x ) = \displaystyle\int _{ 0 } ^ { x } f ( t ) dt\: ( 0 \le x \le 1 ) 은 다음 조건을 만족시킨다. (가) F ( x ) = f ( x ) - 22번 부등식 3 ^ { x - 4 } \le \dfrac { 1 } { 9 } 을 만족시키는 모든 자연수 x 의 값의 합을 구하시오. 23번 함수 f ( \theta ) = 1-\dfrac{1}{1 + 2 \sin\theta} 일 때 , \lim\limits_{\theta \to 0} \dfrac{10f ( \theta )}{\theta} 의 값을 구하시오. 24번 구간 (-1,\: \infty) 에서 정의된 함수 f(x)=xe^{x}+e 의 역함수를 g(x) 라 할 때, 60g^{\prime}(e) 의 값을 구하시오. 25번 그림과 같이 길이가 12 인 선분 \text{AB} 를 지름으로 하는 반원이 있다. 반원 위에서 호 \text{BC} 의 길이가 4 \pi 인 점 \text{C} 를 잡고 점 \text{C} 에서 선분 \text{AB} 에 내린 수선의 발을 \text{H} 라 하자. \over 26번 다음 조건을 만족시키는 네 자연수 a , b , c , d 로 이루어진 모든 순서쌍 (a ,\: b ,\: c ,\: d) 의 개수를 구하시오. (가) a+b+c+d=6 (나) a\times b\times c\times d 는 4 의 배수이다. 27번 그림과 같이 곡선 y=2^{x} 을 y 축에 대하여 대칭이동한 후, x 축의 방향으로 \dfrac{1}{4} 만큼, y 축의 방향으로 \dfrac{1}{4} 만큼 평행이동한 곡선을 y=f(x) 라 하자. 곡선 y=f(x) 와 직선 y=x+1 이 만나는 점 \text{A} 와 점 28번 연속함수 f ( x ) 와 그 역함수 g ( x ) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) f ( 1 ) = 1 , f ( 3 ) = 3, f ( 7 ) = 7 (나) x \ne 3 인 모든 실수 x 에 대하여 f ^ { \prime} ( x ) < 0 이다. (다) \displa 29번 그림과 같은 7 개의 사물함 중 5 개의 사물함을 남학생 3 명과 여학생 2 명에게 각각 1 개씩 배정하려고 한다. 같은 층에서는 남학생의 사물함과 여학생의 사물함이 서로 이웃하지 않는다. 사물함을 배정하는 모든 경우의 수를 구하시오. contenthub figure 30번 그림과 같이 제 1 사분면에 있는 점 \text{P}(a ,\: 2a) 에서 곡선 y=-\dfrac{2}{x} 에 그은 두 접선의 접점을 각각 \text{A} , \text{B} 라 할 때, \overline{\text{PA}}^{2}+\overline{\text{PB}}^{2