2017년 고3 3월 모의고사 (나형)

1번 4^{\frac{1}{2}}+3^{0} 의 값은? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5 2번 두 집합 A=\{1,\:2,\:3,\:4,\:5\} , B=\{2,\:4,\:6\} 에 대하여 n(A-B) 의 값은? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5 3번 \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3n^{2}-2n+1}{2n^{2}+7} 의 값은? ① 1 ② \dfrac{3}{2} ③ 2 ④ \dfrac{5}{2} ⑤ 3 4번 수열 \left\{a_{n}\right\} 이 모든 자연수 n 에 대하여 a_{n+1}=3a_{n} 을 만족시킨다. a_{2}=2 일 때, a_{4} 의 값은? ① 6 ② 9 ③ 12 ④ 15 ⑤ 18 5번 수열 \left\{a_{n}\right\} 에 대하여 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(2a_{n}-5\right)=2017 일 때, \lim\limits_{n\to\infty} a_{n} 의 값은? ① \dfrac{1}{2} ② 1 ③ \df 6번 함수 y=\dfrac{3}{x-2}+2 의 그래프는 함수 y=\dfrac{a}{x} 의 그래프를 x 축의 방향으로 m 만큼, y 축의 방향으로 n 만큼 평행이동한 그래프와 일치한다. a+m+n 의 값은? \left(\text{단},\:a,\:m,\:n\text{는 상수이다.}\ 7번 함수 f(x)=2x+a 에 대하여 f^{-1}(1)=2 일 때, f(3) 의 값은? \left(\text{단},\:a\text{는 상수이다.}\right) ① 1 ② 3 ③ 5 ④ 7 ⑤ 9 8번 \log 2=a , \log 3=b 라 할 때, \log\dfrac{4}{15} 를 a , b 로 나타낸 것은? ① 3a-b-1 ② 3a+b-1 ③ 2a-b+1 ④ 2a+b-1 ⑤ a-3b+1 9번 수열 \left\{a_{n}\right\} 이 모든 자연수 n 에 대하여 a_{1}=1 , a_{n+1}=\dfrac{k}{a_{n}+2} 를 만족시킬 때, a_{3}=\dfrac{3}{2} 이 되도록 하는 상수 k 의 값은? ① 4 ② 5 ③ 6 ④ 7 ⑤ 8 10번 실수 x , y 에 대한 두 조건 p : x \ge k 이고 y \ge 1 , q : (x-3)^{2}+(y-4)^{2} < 1 에 대하여 p 가 q 이기 위한 필요조건이 되도록 하는 실수 k 의 최댓값은? ① 2 ② 4 ③ 6 ④ 8 ⑤ 10 11번 첫째항이 양수인 등비수열 \left\{a_{n}\right\} 이 a_{1}=4a_{3} , a_{2}+a_{3}=-12 를 만족시킬 때, a_{5} 의 값은? ① 3 ② 4 ③ 5 ④ 6 ⑤ 7 12번 실수 x 에 대한 조건 '모든 실수 x 에 대하여 x^{2}+4kx+3k^{2} \ge 2k-3 이다.' 가 참인 명제가 되도록 하는 상수 k 의 최댓값을 M , 최솟값을 m 이라 하자. M-m 의 값은? ① 2 ② 4 ③ 6 ④ 8 ⑤ 10 13번 집합 X=\{1,\:2,\:3,\:4,\:5\} 에 대하여 일대일 대응인 함수 f: X \to X 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) f(2)-f(3)=f(4)-f(1)=f(5) (나) f(1) < f(2) < f(4) f(2)+f(5) 의 값은? ① 4 ② 5 ③ 6 ④ 7 14번 그림과 같이 자연수 n 에 대하여 직선 y=\dfrac{1}{n} 과 원 x^{2}+(y-1)^{2}=1 의 두 교점을 각각 \text{A}_{n} , \text{B}_{n} 이라 하자. 선분 \text{A}_{n}\text{B}_{n} 의 길이를 l_{n} 이라 할 때, \l 15번 그림과 같이 좌표평면에 두 함수 f (x) = x ^{2} , g (x) = x ^{3} 의 그래프가 있다. 곡선 y = f (x) 위의 한 점 \text{P}_{1}(a,\: f (a))\:(a > 1) 에서 x 축에 내린 수선의 발을 \text{Q}_{1} 이라 하자. 선분 16번 두 함수 f(x) , g(x) 가 f(x)=\dfrac{6x+12}{2x-1} , g(x)=\begin{cases} 1&\left(x\text{가 정수인 경우}\right)\\ 0&\left(x\text{가 정수가 아닌 경우}\right)\end{cases} 일 때 , 방정식 17번 함수 f(x)=\begin{cases} \sqrt{2x}&(x \ge 0)\\ 4x&(x < 0) \end{cases} 의 역함수 g(x) 에 대하여 부등식 g(x) \le -\dfrac{1}{4} x^{2}+3 의 해가 a \le x \le b 일 때, a+b 의 값은? ① 18번 다음은 2 이상의 자연수 n 에 대하여 함수 y=\sqrt{x} 의 그래프와 x 축 및 직선 x=n^{2} 으로 둘러싸인 도형의 내부에 있는 점 중에서 x 좌표와 y 좌표가 모두 정수인 점의 개수 a_{n} 을 구하는 과정이다. n=2 일 때, 곡선 y=\sqrt{x} , x 19번 그림과 같이 한 변의 길이 가 2 인 정사각형 \text{ABCD} 가 있다. 이 정사각형에 내 접하는 원을 C_{1} 이라 하자. 원 C_{1} 이 변 \text{BC} , \text{CD} 와 접하는 점을 각각 \text{E} , \text{F} 라 하고, 점 \text{F 20번 실수 x 에 대한 두 조건 p: x^{2}-x-6 < 0 , q: x^{2}+(6-3a) x+2a^{2}-10a+8 \ge 0 이 모두 참이 되도록 하는 정수 x 가 오직 하나 존재할 때, 모든 정수 a 의 값의 합은? ① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 ⑤ 11 21번 자연수 m 에 대하여 집합 A_{m} 을 A_{m} = \left\{(a,\: b)\middle | 2 ^{a} = \dfrac{m}{b},\: a,\: b\text{는 자연수}\right\} 라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보기> ㄱ. A_{4} 22번 \left(\dfrac{1}{4}\right)^{-2}\times\log _{2} 8 의 값을 구하시오. 23번 등차수열 \left\{a_{n}\right\} 에 대하여 a_{2}=2 , a_{5}-a_{3}=6 일 때, a_{6} 의 값을 구하시오. 24번 두 수열 \left\{a_{n}\right\} , \left\{b_{n}\right\} 이 \lim\limits_{n\to\infty}\left(a_{n}-1\right)=2 , \lim\limits_{n\to\infty}\left(a_{n}+2b_{n}\right)=9 를 만 25번 0 \le x \le 3 일 때, 함수 y=2 \sqrt{x+1}+k 의 최댓값을 M , 최솟값을 m 이라 하자. M+m=40 일 때, 상수 k 의 값을 구하시오. 26번 수열 \left\{a_{n}\right\} 이 모든 자연수 n 에 대하여 a_{1}=3 , a_{n+1}=\dfrac{2}{3} a_{n} 을 만족시킬 때, \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n-1}=\dfrac{q}{p} 이다. p+q 의 값을 27번 함수 f ( x ) = x ^ { 2 } + x - \dfrac { 1 } { 3 } 에 대하여 부등식 f ( n ) < k < f ( n ) + 1 \:( n = 1,\: 2,\:3,\: \cdots) 을 만족시키는 정수 k 의 값을 a _{ n } 이라 하자. \displa 28번 어느 날 2 개의 놀이 기구 \text{A} , \text{B} 가 있는 놀이공원에 다녀온 30 명의 학생을 대상으로 그 날 어떤 놀이 기구를 이용했는지 조사하였더니 놀이 기구 \text{A} 를 이용한 학생은 23 명, 놀이 기구 \text{B} 를 이용한 학생은 16 명이었 29번 2 이상의 자연수 X 에 대하여 \log _{x} n\:(n\text{은}\:1 \le n \le 300\text{인 자연수}) 가 자연수인 n 의 개수를 A(x) 라 하자. 예를 들어, A(2)=8 , A(3)=5 이다. 집합 P=\{2,\:3,\:4,\:5,\:6,\:7,\ 30번 자연수 전체의 집합의 부분집합 X 가 상수 p 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) n(X)=3 (나) x\in X 일 때, x 가 홀수이면 \dfrac{x+p}{2}\in X , x 가 짝수이면 \dfrac{x}{2}\in X 이다. 5\in X 일 때, 모든 자연수 p