2022년 고3 7월 모의고사

1번 넓이가 5 \sqrt{2} 인 예각삼각형 {{\text{ABC}}} 에 대하여 {\overline{{\text{AB}}}} = 3 , {\overline{{\text{AC}}}} = 5 일 때, 삼각형 {{\text{ABC}}} 의 외접원의 반지름의 길이는? HML 원본 그림 2번 시각 {t = 0} 일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 \text{P} , \text{Q} 의 시각 t (t \ge0) 에서의 속도가 각각 v_{\text{P}}(t) = 3t^2 + 2t-4 , v_{\text{Q}}(t) = 6t^2 -6t 이다. 출 3번 직선 {x = a} 와 세 함수 f(x) = 4^x , g(x) = 2^x , h(x) = - \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x-1} 의 그래프가 만나는 점을 각각 \text{P} , \text{Q} , \text{R} 라 하자. \overline{\text{ 4번 자연수 {k (k \ge 2)} 에 대하여 집합 A = \{\left(a , b\right) \lvert a , b 는 자연수, 2 \le a \le k , \log_a b \le 2\} 의 원소의 개수가 54 일 때, 집합 A 의 원소 \left(a , b\right) 에 대 5번 사차함수 {f(x)} 는 x = 1 에서 극값 2 를 갖고, f(x) 가 x^3 으로 나누어떨어질 때, \int_{0}^{2}{f(x-1)} dx 의 값은? ① - \dfrac{12}{5} ② - \dfrac{7}{5} ③ - \dfrac{2}{5} ④ \dfrac{3}{5} 6번 두 정수 a , b 에 대하여 a^2 + b^2 \le 13 , \cos \dfrac{(a-b)\pi}{2} = 0 을 만족시키는 모든 순서쌍 \left(a ,b\right) 의 개수는? ① 16 ② 20 ③ 24 ④ 28 ⑤ 32 7번 최고차항의 계수가 1 인 삼차함수 f \left(x\right) 는 x = 1 과 x = -1 에서 극값을 갖는다. \{x \left\lvert f \left(x\right) \le 9x + 9\right\} = \left(- \infty ,a\right] 를 만족시키는 양수 8번 원 {x^2 + y^2 = r^2} 위의 점 \left(a , b\right) 에 대하여 \log_r \left\lvert ab\right\rvert 의 최댓값을 f(r) 라 할 때, f(64) 의 값은? (단, r 는 1 보다 큰 실수이고, ab \ne 0 이다.) ① \df 9번 집합 {A = \left\{1 ,2 ,3 ,4 ,5\right\}} 에서 A 로의 함수 중에서 다음 조건을 만족시키는 함수 f (x) 의 개수는? (가) \log f \left(x\right) 는 일대일함수가 아니다. (나) \log \left\{f \left(1\right) 10번 함수 f (x) = \begin{cases}\left(x + 2\right)^2 & (x \le 0)\\ -\left(x-2\right)^2 + 8 & (x > 0)\end{cases} 이 있다. 실수 m(m < 4) 에 대하여 곡선 y = f (x) 와 직선 y = mx + 11번 수열 {\left\{a_n\right\}} 의 일반항이 a_n = \dfrac{\sqrt{9n^2 -3n-2} + 6n-1}{\sqrt{3n + 1} + \sqrt{3n-2}} 일 때, \sum_{n = 1}^{16} a_n 의 값은? ① 110 ② 114 ③ 118 ④ 122 12번 좌표평면에서 점 {(18 , -1)} 을 지나는 원 C 가 곡선 y = x^2 -1 과 만나도록 하는 원 C 의 반지름의 길이의 최솟값은? ① \dfrac{\sqrt17}{2} ② \sqrt17 ③ \dfrac{3 \sqrt17}{2} ④ 2 \sqrt17 ⑤ \dfrac{5 13번 좌표평면 위의 점 \left(a ,b\right) 에서 곡선 y = x^2 에 그은 두 접선이 서로 수직이고 a^2 + b^2 \le \dfrac{37}{16} 일 때, a + b 의 최댓값을 p , 최솟값을 q 라 하자. pq 의 값은? ① - \dfrac{33}{16} ② 14번 두 다항함수 {f (x)} , g (x) 에 대하여 f (1) = 2 , g (1) = 0 , f'(1) = 0 , g'(1) = 2 일 때, \lim_{x\rightarrow \infty} {\sum_{k = 1}^{4} \{x f \left(1 + \dfrac{3^k}{x} 15번 좌표평면에서 정삼각형 {\text{ABC}} 에 내접하는 반지름의 길이가 1 인 원 S 가 있다. 실수 t (0 \le t \le 1) 에 대하여 삼각형 \text{ABC} 위의 점 \text{P} 와 원 S 의 거리가 t 인 점 \text{P} 의 개수를 f(t) 라 하자. 16번 좌표평면에 네 점 {\text{A}(0 , 0)} , \text{B}(1 , 0) , \text{C}(1 , 1) , \text{D}(0 , 1) 이 있다. 자연수 n 에 대하여 집합 X_n 은 다음 조건을 만족시키는 모든 점 (a , b) 를 원소로 하는 집합이다. (가) 점 17번 두 자연수 a , b 에 대하여 함수 f(x) = \sin(a \pi x) + 2b (0 \le x \le 1) 이 있다. 집합 \{x \lvert \log_2 f(x) 는 정수 \} 의 원소의 개수가 8 이 되도록 하는 서로 다른 모든 a 의 값의 합은? ① 12 ② 15 ③ 18번 함수 f \left(x\right) = \begin{cases}1 + x & \left(-1 \le x < 0\right) \\1-x & \left(0 \le x \le 1\right) \\0 & (\lvert x \left\lvert > 1\right)\end{cases} 에 19번 최고차항의 계수가 양수인 다항함수 {f(x)} 와 함수 y = f(x) 의 그래프를 y 축에 대하여 대칭이동한 그래프를 나타내는 함수 g(x) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \lim_{x\rightarrow 1} {\dfrac{f(x)}{x-1}} 의 값이 존재한다. (나 20번 곡선 {y = x^3 -x^2} 위의 제 1 사분면에 있는 점 \text{A} 에서의 접선의 기울기가 8 이다. 점 (0 , 2) 를 중심으로 하는 원 S 가 있다. 두 점 \text{B}(0 , 4) 와 원 S 위의 점 \text{X} 에 대하여 두 직선 \text{OA} 와 21번 수열 {\left\{a_{n}\right\}} 이 모든 자연수 n 에 대하여 \sum_{k = 1}^{n} \dfrac{a_{k}}{2k-1} = 2^{n} 을 만족시킬 때, a_{1} + a_{5} 의 값을 구하시오. 22번 실수 a , b , c 가 \log \dfrac{ab}{2} = \left(\log a\right) \left(\log b\right) , \log \dfrac{bc}{2} = \left(\log b\right) \left(\log c\right) , \log \left(ca\ 23번 최고차항의 계수가 1 인 이차함수 f(x) 에 대하여 함수 g(x) 를 g(x) = {\begin{cases}-x^{2} + 2x + 2 & \left(x < 1\right)\\ f(x) & \left(x \ge1\right)\end{cases}} 이라 하자. 함수 g(x) 가 24번 모든 실수 x 에 대하여 부등식 \left(a \sin^{2} x-4\right) \cos x + 4 \ge0 을 만족시키는 실수 a 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. 25번 세 집합 A , B , C 는 A = \{\left(2 + 2 \cos \theta , 2 + 2 \sin \theta\right) \left\lvert - \dfrac{\pi}{3} \le \theta \le \dfrac{\pi}{3}\right\} , B = \{\left(