2025년 고2 3월 모의고사 (수학)

1번 두 다항식 A=x^{2}+2xy-2y^{2},B=x^{2}+3xy+2y^{2} 에 대하여A+B를 간단히 하면? 2번 (1 + i) + (3-4 i)의 값은? (단,i = \sqrt{-1}) 3번 _{5}\text{C}_{2}의 값은? 4번 수직선 위의 두 점\text{A}(-3),\text{B}(5)에 대하여 선분\text{AB}를1: 3으로 내분하는 점의 좌표는? 5번 일차함수f (x) = 2 x + k의 역함수f ^{-1}(x)에 대하여f ^{-1}(7) = 2일 때,f (k)의 값은? (단,k는 상수이다.) 6번 이차함수y=x^{2}-2ax+a+1의 그래프가 직선y=-2x에 접할 때, 양수a의 값은? 7번 a-b=2,a^{3}-b^{3}=32일 때,ab의 값은? 8번 연립부등식 \begin{cases}x^{2}-x-6 \ge 0\\ x^{2}-25 < 0\end{cases} 을 만족시키는 모든 정수x의 값의 합은? 9번 직선y=ax+4를x축의 방향으로4만큼 평행이동한 후,y축에 대하여 대칭이동한 직선이 원(x+3)^{2}+(y+5)^{2}=1의 넓이를 이등분할 때, 상수a의 값은? 10번 그림과 같이 양수k에 대하여 함수f(x)=\sqrt{2x}의 그래프 위의 두 점\text{A}(k,\:f(k)),\text{B}(4k,\:f(4k))에서x축에 내린 수선의 발을 각각\text{C},\text{D}라 하자. 사각형\text{ACDB}의 넓이가18일 때, … 11번 실수가 아닌 복소수z에 대하여z^{2}+4\overline{z}=0일 때,z\overline{z}의 값은? (단,\overline{z}는z의 켤레복소수이다.) 12번 좌표평면 위에 원C: x^{2}+y^{2}-4y=0이 있다. 두 점\text{A}(2,\:-2),\text{B}(5,\:1)과 원C위의 점\text{P}에 대하여 삼각형\text{PAB}의 넓이가 최대가 되도록 하는 점\text{P}의x좌표는? 13번 연립방정식 \begin{cases}2x^{2}-5xy+2y^{2}=0\\ 4x^{2}-y^{2}=45\end{cases} 의 해를x=\alpha,y=\beta라 할 때,\alpha+\beta의 값은? (단,\alpha > 0,\beta > 0) 14번 1 \le x \le 3에서 함수f(x)=\dfrac{4x-k}{x-4}의 최댓값이2가 되도록 하는 상수k의 값은? 15번 실수x에 대한 두 조건 p:(x-a) (x+2a) > 0, q:|x-1| \le 5 가 있다.q가\sim p이기 위한 필요조건이 되도록 하는 실수a의 최댓값을M, 최솟값을m이라 할 때,M+m의 값은? 16번 어느 청소년 센터에서는 서로 다른3개의 체육 동아리와 서로 다른2개의 음악 동아리를 운영한다. 두 청소년\text{A}와\text{B}가 이5개의 동아리 중에서 다음 조건을 만족시키도록 동아리를 선택하는 경우의 수는? 17번 이차함수f(x)=x^{2}-6x+5가 있다. 실수k에 대하여x에 대한 방정식f(x) f(x-k)=0의 서로 다른 실근의 개수를g(k)라 하자.g(k-7)+g(k+1)=6이 되도록 하는 모든k의 값의 합은? 18번 어느 숙소에는 그림과 같이 객실 번호가 적힌10개의 객실이 있다. 관광객\text{A},\text{B},\text{C}를 포함한5명의 관광객이 다음 규칙에 따라10개의 객실 중에서 각자 서로 다른 한 객실에 숙박하는 경우의 수는? 19번 최고차항의 계수가1인 서로 다른 두 삼차다항식f(x),g(x)와 최고차항의 계수가1인 서로 다른 두 이차다항식P_{1}(x),P_{2}(x)는 다음 조건을 만족시킨다. f(1)=g(1)이고f(2)=1일 때,g(3)의 값은? 20번 전체집합U=\left\{x \middle| x\text{는}\:20\:\text{이하의 자연수}\right\}의 부분집합A가 다음 조건을 만족시킨다. 1 \notin A일 때, 집합A의 모든 원소의 합의 최솟값은? 21번 두 실수a,b\:(b > 0)에 대하여 함수 f(x)=\begin{cases}x^{2}+ax+b& (x \le 0)\\ -x^{2}+ax-b& (x > 0)\end{cases} 이 다음 조건을 만족시킬 때,f(2)=p+q\sqrt{2}이다.p-q의 값은? (단,p,q는 유리수이다. … 22번 두 집합 A=\{1,\:3,\:5,\:7,\:9\},B=\{2,\:5,\:9\} 에 대하여 집합A\cap B의 모든 원소의 합을 구하시오. 23번 두 함수f(x)=x+3,g(x)=x^{2}+1에 대하여(g\circ f) (9)의 값을 구하시오. 24번 두 실수a,b에 대하여 이차방정식x^{2}+ax+b=0의 한 근이2+3i일 때,a^{2}+b^{2}의 값을 구하시오. (단,i=\sqrt{-1}) 25번 무리함수y=\sqrt{2(x-1)}+a의 역함수의 그래프가 두 점(5,\:1),(b,\: 3)을 지날 때,a+b의 값을 구하시오. (단,a는 상수이다.) 26번 좌표평면 위의 원점\text{O}와 점\text{A}(1,\: 2)에 대하여 선분\text{OA}를2: 1로 외분하는 점을\text{P}, 점\text{B}(5,\: 5)에 대하여 선분\text{AB}위의 한 점을\text{Q}라 하자. … 27번 두 정수a,b에 대하여x에 대한 방정식x^{3}+ax^{2}+bx-3a=0은a를 포함한 서로 다른 세 정수를 근으로 갖고,x에 대한 방정식x^{3}+bx^{2}-2ax-2ab=0은 정수인 근을 오직 하나만 갖는다.a-b의 값을 구하시오. 28번 그림과 같이 직선y=x위의 점\text{A}를 중심으로 하고x축과 만나지 않는 원C에 대하여 원점\text{O}를 지나고 원C에 접하는 두 직선 중 기울기가 작은 직선을l:y=m x라 하자. 원C와 직선y=x의 교점 중x좌표가 작은 것을\text{P}_{1},x좌표가 큰 것을 … 29번 전체집합U=\left\{x\middle|x\text{는}\:15\:\text{이하의 자연수}\right\}의 부분집합P=\left\{x\middle|x\text{는}\:15\:\text{이하의 소수}\right\}에 대하여 다음 조건을 만족시키는U의 부분집합X의 개수를 구하시오 … 30번 실수a\:(a \ne 0)와2보다 큰 자연수n에 대하여 집합\left\{x\middle|x \ne 2\text{인 실수}\right\}에서 정의된 함수f(x)를 …