2025년 고3 7월 모의고사

1번 x = \log_{3}5 일 때, 5^{\frac{1}{x}} = \left(9 \sqrt{3}\right)^{a} 이 성립하도록 하는 실수 a 의 값은? ① \dfrac{2}{9} ② \dfrac{1}{4} ③ \dfrac{2}{7} ④ \dfrac{1}{3} ⑤ \dfrac 2번 방정식 \log_{x + 1}2 + \log_{x-1}2 = 2 \log_{x + 1}2 \times \log_{x-1}2 를 만족시키는 실수 x 의 값은? ① \sqrt{5} ② \sqrt{6} ③ \sqrt{7} ④ 2 \sqrt{2} ⑤ 3 3번 두 상수 a , b 에 대하여 함수 f \left(x\right) = ax^{2} + bx 가 다음 조건을 만족시킬 때, a + b 의 값은? (가) \lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{f \left(x\right)}{x^{2}-x + 1} = 1 (나) 4번 직선 도로를 24 {{\text{m}}}/{{\text{s}}} 의 속도로 달리는 순찰차에 제동을 건 지 t 초 후의 순찰차의 속도 v \left(t\right) {{\text{m}}}/{{\text{s}}} 가 v \left(t\right) = 24-2t \left(0 \le 5번 등비수열 \left\{a_{n}\right\} 에 대하여 a_{1} = \sqrt{2} , a_{2} = 2 일 때, a_{1}a_{4} + a_{2}a_{5} + a_{3}a_{6} + a_{4}a_{7} 의 값은? ① 50 \sqrt{2} ② 55 \sqrt{2} ③ 60 6번 자연수 n 에 대하여 x 에 대한 이차방정식 x^{2} + 88x- \left(n + 1\right) \left(n + 3\right) = 0 의 두 근을 각각 \alpha_{n} , \beta_{n} 이라 할 때, \sum_{n = 1}^{9} \left(\dfrac{1}{\ 7번 미분가능한 두 함수 f \left(x\right) , g \left(x\right) 가 다음 조건을 만족시킬 때, g' \left(1\right) 의 값은? (가) 곡선 y = f \left(x\right) 위의 점 \left(1,1\right) 에서의 접선의 기울기는 12 이 8번 함수 f \left(x\right) 가 모든 실수 x 에 대하여 x^{3}-x^{2} + 3x \le f \left(x\right) \le x^{3} + x^{2} + 3x 를 만족시킬 때, \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\left\{f \left(x\rig 9번 곡선 y = \left\lvert x^{2}-2x\right\rvert 와 직선 y = 3 으로 둘러싸인 부분의 넓이는? ① 7 ② 8 ③ 9 ④ 10 ⑤ 11 10번 등차수열 \left\{a_{n}\right\} 의 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 S_{n} 이라 하자. S_{10} \times S_{11} < 0 이고 a_{4} = 42 일 때, a_{n} < 0 을 만족시키는 자연수 n 의 최솟값은? ① 5 ② 6 ③ 7 ④ 8 ⑤ 9 11번 최고차항의 계수가 1 인 이차함수 f \left(x\right) 와 함수 g \left(x\right) = \begin{cases}\dfrac{1}{x-2} & \left(x \ne 2\right) \\ 3 & \left(x = 2\right)\end{cases} 에 대하여 함 12번 두 연속함수 f \left(x\right) , g \left(x\right) 에 대하여 \max \left\{f \left(x\right),g \left(x\right)\right\} = \begin{cases}f \left(x\right) & \left(f \left(x\ri 13번 최고차항의 계수가 1 인 두 삼차함수 f \left(x\right) , g \left(x\right) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) g \left(2\right) = 0 (나) n = 2 , 3 , 4 , 5 일 때, \lim_{x\rightarrow n}\dfrac{f 14번 그림과 같이 길이가 6 인 선분 {{\text{AB}}} 를 지름으로 하는 반원의 호 {{\text{AB}}} 위에 세 점 {{\text{P}}} , {{\text{Q}}} , {{\text{R}}} 을 {\overline{{\text{AP}}}} = {\overline{{\t 15번 직선 y = \sqrt{2}x 위의 제 1 사분면의 점 {{\text{A}}} 와 {\overline{{\text{AB}}}} = \sqrt{3} 인 y 축 위의 점 {{\text{B}}} 가 있다. {\overline{{\text{PO}}}} = {\overline{{\tex 16번 실수 a 에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 f \left(x\right) = \begin{cases}- \left(x + 1\right)^{2} \left(x-3\right) & \left(x \le a\right) \\ 0 & \left(x > a\right)\en 17번 그림과 같이 한 변의 길이가 2 인 정삼각형 {{\text{ABC}}} 와 선분 {{\text{BC}}} 를 지름으로 하는 반원이 한 평면에 놓여 있다. 호 {{\text{BC}}} 위의 점 {{\text{P}}} 에 대하여 선분 {{\text{AP}}} 가 선분 {{\text 18번 10 이하의 두 자연수 a , b 에 대하여 함수 y = a \sin 2x + b \left(0 \le x \le 2 \pi\right) 의 그래프가 두 직선 y = 1 , y = 6 과 만나는 서로 다른 점의 개수를 각각 m , n 이라 하자. m + n 의 값이 최대일 때, 19번 함수 f \left(x\right) 와 실수 a 에 대하여 \lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f \left(x\right)}{\left(x-a\right)^{k}} = L (단, L \ne 0 ) 인 실수 L 이 존재하도록 하는 자연수 k 의 값을 k \left 20번 x \ge 0 에서 정의된 연속함수 f \left(x\right) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) f \left(x\right) = \begin{cases}-x \left(x-2\right) & \left(0 \le x < 2\right) \\\dfrac{1}{2}x-1 & 21번 등차수열 \left\{a_{n}\right\} 에 대하여 a_{1} + a_{2} = 5 , a_{3} + a_{4} + a_{5} = 30 일 때, a_{6} + a_{7} + a_{8} + a_{9} 의 값을 구하시오. 22번 미분가능한 함수 f \left(x\right) 가 f \left(0\right) = 0 이고 모든 실수 x 에 대하여 f' \left(x\right) > 0 이다. \int_{-2026}^{2026}f \left(x\right)dx = -7 , \int_{0}^{2026}f \ 23번 a > 1 인 실수 a 에 대하여 곡선 y = a^{x}-\dfrac{1}{2} 이 x 축 및 곡선 y = \left(\dfrac{1}{a}\right)^{x} + 1 과 만나는 점을 각각 {{\text{A}}} , {{\text{B}}} 라 하자. 삼각형 {{\text{AOB 24번 양수 k 에 대하여 최고차항의 계수가 5 인 삼차함수 f \left(x\right) 와 삼차함수 g \left(x\right) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) f \left(x\right) 는 x = 2 에서 극소이다. (나) 모든 실수 x 에 대하여 f \left(x\ri 25번 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 \left\{a_{n}\right\} 에 대하여 a_{1} 의 최댓값은 \dfrac{q}{p} 이다. p + q 의 값을 구하시오. (단, p 와 q 는 서로소인 자연수이다.) (가) 4 < a_{1} < 5 이고, 모든 자연수 n 에 대하여