2014년 고3 7월 모의고사

1번 행렬 A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & -1\end{pmatrix} 에 대하여 \sum_{k = 1}^{2 n} A^{k} 의 모든 성분의 합을 a_{n} 이라 하자. \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{4}{a_{n} a_{n + 1}} 2번 자연수 n 에 대하여 다항식 \left(x-1\right)^{2n} + \left(x + 1\right)^{n} 을 x-3 으로 나눈 나머지를 a_n , x-1 로 나눈 나머지를 b_{n} 이라 할 때, \lim_{n\rightarrow \infty} {\dfrac{\log_{ 3번 5^{25} 은 m 자리의 정수이고 5^{25} 의 최고 자리의 숫자는 n 이다. m + n 의 값은? (단, \log 2 = 0.3010 , \log 3 = 0.4771 로 계산한다.) ① 18 ② 20 ③ 22 ④ 24 ⑤ 26 4번 1 부터 10 까지 자연수가 하나씩 적혀 있는 10 개의 공이 주머니에 들어 있다. 이 주머니에서 3 개의 공을 임의로 한 개씩 꺼낼 때, 나중에 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 더 큰 순서로 꺼낼 확률은? (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.) ① \dfrac{1}{2} ② \df 5번 원에 내접하는 사각형 \text{ABCD} 에 대하여 \overline{\text{AB}} = 1 , \overline{\text{BC}} = 3 , \overline{\text{CD}} = 4 , \overline{\text{DA}} = 6 이다. 사각형 \text{ABCD} 6번 함수 f \left(n\right) 이 f \left(n\right) = \lim_{x\rightarrow 1} {} \dfrac{x^{n} + 3x-4}{x-1} 일 때, \sum_{n = 1}^{10} f \left(n\right) 의 값은? ① 65 ② 70 ③ 75 ④ 7번 방정식 x^{3} + 1 = 0 의 한 허근을 \alpha 라 할 때, \sum_{k = 1}^{\infty} \dfrac{1}{\left(k- \alpha\right) \left(k- \alpha^{2}\right)} 의 값은? ① \alpha ② \alpha-1 ③ 1-\a 8번 두 이차정사각행렬 A , B 에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, E 는 단위행렬이고 O 는 영행렬이다.) <보기> ㄱ. (A + B)^{2} = O 이면 A + B = O 이다. ㄴ. A + E = (B + E)^{2} 이면 A B = B A 이다 9번 자연수 n 에 대하여 연립일차방정식 \begin{cases}a x-b y = 1 \\ b x + (a-2 n) y = 1\end{cases} 의 해가 존재하지 않을 때, 실수 a , b 의 순서쌍 (a, b) 전체의 집합을 A_{n} 이라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 10번 x 축 위의 점 \text{A}_{\text{n}} \left(\text{x}_{\text{n}} ,0\right) 에 대하여 함수 f \left(x\right) = 4x^{2} 의 그래프 위의 점 \text{B}_{\text{n}} \left(\text{x}_{\text{n} 11번 양의 실수 a , b , c 에 대하여 세 조건 p: a x^{2}-b x + c < 0 , q: \dfrac{a}{x^{2}}-\dfrac{b}{x} + c < 0 , r:(x-1)^{2} \le 0 의 진리집합을 각각 P , Q , R 라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 12번 f(x) = \sqrt{x} 에 대하여 \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k = 1}^{n} \dfrac{k}{n} \left\{f \left(\dfrac{k}{n}\right)-f \left(\dfrac{k-1}{n}\right)\right\} 의 값 13번 15 이하의 자연수 중에서 서로 다른 4 개의 수를 뽑을 때, 어느 두 수도 3 이상 차이가 나도록 뽑는 방법의 수는? ① 108 ② 120 ③ 126 ④ 132 ⑤ 144 14번 함수 f \left(x\right) = \log_{2} x + 1 \left(x \ge1\right) 에 대하여 f_1 \left(x\right) = f \left(x\right) , f_2 \left(x\right) = f \left(f_1 \left(x\right)\righ 15번 자연수 n 에 대하여 직선 y = n 이 두 함수 y = \log_{2} x , y = \log_{3} x 의 그래프와 만나는 점을 각각 {\text{A}}_n , \text{B}_{\text{n}} 이라 하자. 삼각형 \text{A}_{\text{n}} \text{B}_{\t 16번 두 집합 A = \left\{(x, y) | x^{2} + y^{2} \le 2\right\} , B = \left\{(x, y) | y \ge x^{2}\right\} 에 대하여 (x, y) 가 A \cap B 의 원소일 때, x + 2 y 의 최댓값과 최솟값이 각각 M , 17번 좌석의 수가 50 인 어느 식당에서 예약한 사람이 예약을 취소하는 경우가 10 명 중 1 명꼴이라고 한다. 52 명이 예약했을 때, 좌석이 부족하게 될 확률은 p \times 0.9^{52} 이다. p 의 값은? ① \dfrac{61}{9} ② 7 ③ \dfrac{65}{9} 18번 미분가능한 함수 f \left(x\right) 가 f \left(x\right) = \begin{cases}ax^3 + bx^2 + cx + 1 & \left(x < 1\right) \\ 1 & \left(x = 1\right) \\p \left(x-2\right)^3 + q 19번 한 변의 길이가 1 인 정사각형 \text{ABCD} 가 있다. 점 \text{P} 는 \text{B} 를 출발하여 매초 1 의 속력으로 정사각형 \text{ABCD} 의 변을 따라 \text{B}\rightarrow \text{C}\rightarrow \text{D}\righ 20번 정삼각형 \text{ABC} 내부의 점 \text{P} 로부터 각 꼭짓점까지의 거리가 각각 4 , 2 , 2\sqrt{3} 일 때, 삼각형 \text{ABC} 의 한 변의 길이는? ① \sqrt{29} ② 2\sqrt{7} ③ 3\sqrt{3} ④ \sqrt{26} ⑤ 5 21번 방정식 4x^3 + 1003x + 1004 = 0 의 세 근을 \alpha , \beta , \gamma 라 할 때, \left(\alpha + \beta\right)^{3} + \left(\beta + \gamma\right)^{3} + \left(\gamma + \alpha 22번 원 x^{2} + y^{2} = 1 에 내접하는 정 96 각형의 각 꼭짓점의 좌표를 \left(a_{1}, b_{1}\right) , \left(a_{2}, b_{2}\right) , \cdots , \left(a_{96}, b_{96}\right) 이라 할 때, \sum_{n 23번 백의 자리의 수, 십의 자리의 수, 일의 자리의 수가 이 순서대로 등차수열을 이루는 세 자리 자연수의 개수를 구하시오. 24번 두 개의 주사위를 던져 나오는 눈의 수 중 크거나 같은 수를 확률변수 X 라 할 때, {\text{E}}(6X) = \dfrac{p}{q} 이다. p + q 의 값을 구하시오. (단, p , q 는 서로소인 자연수이다.) 25번 직선 l 이 함수 f \left(x\right) = x^4 -2x^2 -2x + 3 의 그래프와 서로 다른 두 점에서 접할 때, 직선 l 과 곡선 y = f \left(x\right) 로 둘러싸인 영역의 넓이가 A 이다. 30A 의 값을 구하시오.