2017년 고3 7월 모의고사

1번 \dfrac{1}{2 \sqrt{1} + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}} + \cdots + \dfrac{1}{121 \sqrt{120} + 120 \sqrt{121}} 의 값은? ① \dfrac{9}{10} ② \dfrac{ 2번 a^{2} + b^{2} = 4 인 복소수 z = a + b i 에 대하여 \dfrac{i}{z-1} 가 양의 실수일 때, z^{2} 의 값은? (단, a , b 는 실수이다.) ① -2 + 2 \sqrt{3} i ② 2 + 2 \sqrt{3} i ③ 2-2 \sqrt{3} i 3번 입학정원이 35 명인 A 학과는 올해 대학수학능력시험 4 개 영역 표준점수의 총합을 기준으로 하여 성적순에 의하여 신입생을 선발한다. 올해 A 학과에 지원한 수험생이 500 명이고 이들의 성적은 평균 500 점, 표준편차 30 점인 정규분포를 따른다고 할 때, A 학과에 합격하 4번 직선 y = \dfrac{1}{2}(x + 1) 위에 두 점 {{\text{A}}} (-1,0) 과 {{\text{P}}} \left(t, \dfrac{t + 1}{2}\right) 이 있다. 점 {{\text{P}}} 를 지나고 직선 y = \dfrac{1}{2}(x + 1) 5번 10 이하인 세 자연수 a , b , c 에 대하여 \lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{c^{n} + b^{n}}{a^{2 n} + b^{2 n}} = 1 을 만족시키는 순서쌍 (a, b, c) 의 개수는? ① 5 ② 7 ③ 9 ④ 12 ⑤ 15 6번 양수 a , b 가 a b + a + 2 b = 7 을 만족시킬 때, a b 의 최댓값은? ① 6-2 \sqrt{2} ② 8-2 \sqrt{2} ③ 9-4 \sqrt{2} ④ 11-6 \sqrt{2} ⑤ 13-8 \sqrt{2} 7번 다항식 x^{10} + x^{5} + 3 을 x^{2} + x + 1 , x^{2}-x + 1 , \left(x^{2} + x + 1\right) \left(x^{2}-x + 1\right) 로 나눈 나머지를 각각 r_{1}(x) , r_{2}(x) , r_{3}(x) 라 할 8번 두 점 {{\text{O}}} (0,0) , {{\text{A}}} (3,0) 에 대하여 점 {{\text{P}}} 가 곡선 y = 2 x^{2} 위를 움직일 때, {\overline{\text{OP}}}^{2} + {\overline{\text{AP}}}^{2} 의 최솟값은? 9번 함수 y = \dfrac{1}{x + 1} 의 그래프와 직선 y = m x + n(m < 0) 이 한 점에서 만나고, 그 만나는 점은 제 1 사분면에 있다. 직선 y = m x + n 이 x 축과 만나는 점을 {{\text{A}}} , y 축과 만나는 점을 {{\text{B}} 10번 실수 p 에 대하여 이차방정식 x^{2}-2 p x + p-1 = 0 의 두 실근을 \alpha , \beta(\alpha < \beta) 라 할 때, \int_{\alpha}^{\beta} {} \left\lvert x-p\right\rvert dx 의 최솟값은? ① \dfr 11번 두 점 {{\text{A}}} (0,-4) , {{\text{B}}} (3,0) 과 연립부등식 \begin{cases}y \le 1-x^{2} \\ y \ge x^{2}-1\end{cases} 의 영역에 속하는 점 {{\text{P}}} (x, y) 에 대하여 삼각형 {{\te 12번 720 의 모든 양의 약수를 a_{1} , a_{2} , a_{3} , \cdots , a_{30} 이라고 할 때, \sum_{k = 1}^{30} \log_{2} a_{k} 의 값은? (단, \log_{10} 2 = 0.30 , \log_{10} 3 = 0.48 로 계산한다. 13번 1 , 2 , 3 , 4 , 5 의 숫자가 각각 적힌 5 개의 공을 모두 3 개의 상자 A , B , C 에 넣으려고 한다. 각 상자에 넣어진 공에 적힌 수의 합이 11 이하가 되도록 공을 상자에 넣는 방법의 수는? (단, 빈 상자의 경우에는 넣어진 공에 적힌 수의 합을 0 으 14번 홀수의 눈이 나올 때까지 주사위를 던지는 시행을 반복한다. 10 회 이하에서 1 의 눈이 나와 시행을 멈출 확률은? ① \dfrac{335}{1024} ② \dfrac{337}{1024} ③ \dfrac{339}{1024} ④ \dfrac{341}{1024} ⑤ \dfrac{3 15번 방정식 2 x^{2} = x + 3[x] 의 실근의 개수를 p , 모든 실근의 합을 q 라 할 때, p q 의 값은? (단, [x] 는 x 를 넘지 않는 최대 정수이다.) ① 12 ② 13 ③ 14 ④ 15 ⑤ 16 16번 그림과 같이 한 변의 길이가 1 인 흰색 정사각형 R_{0} 을 사등분하여 오른쪽 위의 한 정사각형을 검은색으로 칠한 전체 도형을 R_{1} 이라 하고, R_{1} 의 검은 부분의 넓이를 S_{1} 이라 하자. R_{1} 의 각 정사각형을 사등분하여 얻은 도형이 이면 으로, 이 17번 음이 아닌 정수 n 에 대하여 최고차항의 계수가 1 인 n 차 다항함수 P_{n}(x) 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) P_{0}(x) = 1 , P_{1}(x) = x (나) 음이 아닌 서로 다른 정수 m , n 에 대하여 \int_{-1}^{1} P_{m}(x) P_{n 18번 함수 f \left(x\right) = \left[x\right] + \left[x + \dfrac{1}{100}\right] + \left[x + \dfrac{2}{100}\right] + \cdots + \left[x + \dfrac{99}{100}\right] 에 대하여 19번 첫째항이 1 이고 공비가 r(r > 0) 인 등비수열 \left\{a_{n}\right\} 에 대하여 함수 f(x) = \sum_{n = 1}^{17} \left\lvert x-a_{n}\right\rvert 은 x = 16 에서 최솟값을 갖는다. 그 최솟값을 m 이라 할 때, 20번 미분가능한 함수 f(x) , g(x) 가 f(x + y) = f(x) g(y) + f(y) g(x), f(1) = 1 g(x + y) = g(x)g(y) + f(x)f(y), \lim_{x\rightarrow 0} {} \dfrac{g(x)-1}{x} = 0 을 만족시킬 때, 21번 \log_{m} 2 = \dfrac{n}{100} 을 만족시키는 자연수의 순서쌍 (m, n) 의 개수를 구하시오. 22번 수열 \left\{a_{n}\right\} 이 a_{1} = 1 , a_{n + 1} = \dfrac{a_{n}}{a_{n} + 1} (n \ge 1) 을 만족시킬 때, A = \sum_{k = 1}^{9} a_{k} a_{k + 1} , B = \sum_{k = 1}^{9} 23번 집합 X = \left\{1,2,3,4,5,6\right\} 에서 집합 X 로의 함수 f(x) 가 (f \circ f \circ f)(x) = x 를 만족시킬 때, 함수 f 의 개수를 구하시오. 24번 1 \le k < l < m \le 10 인 세 자연수 k , l , m 에 대하여 함수 f(x) 의 도함수 f' (x) 가 f' (x) = (x + 1)^{k} x^{l}(x-1)^{m} 일 때, x = 0 에서 f(x) 가 극댓값을 갖도록 하는 순서쌍 (k, l, m) 의 25번 함수 f(x) = (x-1)^{4}(x + 1) 에 대하여 이차함수 g(x) , h(x) 가 f(x) = g(x) + \int_{0}^{x}(x-t)^{2} h(t) d t 를 만족시킬 때, g(2) + h(2) 의 값을 구하시오.