2017년 고3 10월 모의고사 (가형)

1번 부등식 \log _{2} x \le 2 를 만족시키는 정수 x 의 개수는? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5 2번 원점 \text{O} 와 평면 x + y + z + 3 = 0 사이의 거리는? ① 1 ② \sqrt{2} ③ \sqrt{3} ④ 2 ⑤ \sqrt{5} 3번 두 사건 A , B 가 서로 배반사건이고, \text{P}(A)=\dfrac{3}{10} , \text{P}(B)=\dfrac{2}{5} 일 때, \text{P}(A\cup B) 의 값은? ① \dfrac{1}{2} ② \dfrac{3}{5} ③ \dfrac{7}{10} ④ \ 4번 \displaystyle\int_{0}^{1} x e^{x} d x 의 값은? ① 1 ② 2 ③ e ④ 1+e ⑤ 2e 5번 어느 모집단의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. contenthub figure 이 모집단에서 크기가 4 인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 \overline{X} 라 하자. \text{E}\left(\overline{X}\right)=\dfrac{5}{6} 일 때, 6번 좌표공간에서 두 점 \text{A}(-1,\:1,\:2) , \text{B}(1,\:5,\:-2) 를 지름의 양 끝점으로 하는 구 S 가 있다. 구 S 위의 한 점 \text{C}(0,\:0,\:0) 에 대하여 삼각형 \text{ABC} 의 넓이는? ① \sqrt{5} ② 2\ 7번 함수 f(x)=\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x 의 주기는? ① 2\pi ② \dfrac{5}{3}\pi ③ \dfrac{4}{3}\pi ④ \pi ⑤ \dfrac{2}{3}\pi 8번 그림과 같이 포물선 y^{2}=4x 위의 점 \text{A} 에서 x 축에 내린 수선의 발을 \text{H} 라 하자. 포물선 y^{2}=4x 의 초점 \text{F} 에 대하여 \overline{\text{\text{AF}}}=5 일 때, 삼각형 \text{AFH} 의 넓이는 9번 일렬로 나열된 6 개의 좌석에 세 쌍의 부부가 임의로 앉을 때, 부부끼리 서로 이웃하여 앉을 확률은? ① \dfrac{1}{15} ② \dfrac{2}{15} ③ \dfrac{1}{5} ④ \dfrac{4}{15} ⑤ \dfrac{1}{3} 10번 타원 \dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{5}=1 위의 점 \text{P} 와 두 초점 \text{F} , \text{F}^{\prime} 에 대하여 \left|\overrightarrow{\text{PF}}+\overrightarrow{\text{PF}^{ 11번 그림의 네 지점 \text{A} , \text{B} , \text{C} , \text{D} 에서 산책로 ㉠, ㉡, ㉢, ㉣, ㉤ 중 한 산책로를 지나갈 확률을 표로 나타내면 다음과 같다. contenthub figure \text{A} 지점을 출발하여 \text{D} 지점으로 12번 그림과 같이 \overline{\text{BC}}=1 , \angle\text{ABC}=\dfrac{\pi}{3} , \angle\text{ACB}=2\theta 인 삼각형 \text{ABC} 에 내접하는 원의 반지름의 길이를 r(\theta) 라 하자. h(\theta)=\d 13번 그림과 같이 6 개의 섬이 다리로 연결되어 있다. 흰색, 노란색, 파란색 깃발이 각각 2 개씩 총 6 개 있을 때, 이 6 개의 깃발을 섬에 한 개씩 세우고자 한다. 다리로 연결된 이웃한 두 섬에는 같은 색의 깃발을 세우지 않는다고 할 때, 깃발을 세우는 경우의 수는? (단, 14번 미분가능한 두 함수 f(x) , g(x) 에 대하여 g(x) 는 f(x) 의 역함수이다. f(1)=3 , g(1)=3 일 때, \displaystyle\int _{1}^{3}\left\{\dfrac{f(x)}{f^{\prime}(g(x))}+\dfrac{g(x)}{g^{\pri 15번 그림과 같이 한 모서리의 길이가 2 인 정사면체 \text{ABCD} 와 모든 모서리의 길이가 2 인 사각뿔 \text{G} - \text{EDCF} 가 있다. 네 점 \text{B} , \text{C} , \text{D} , \text{G} 가 한 평면 위에 있을 때, 평면 16번 연속함수 f(x) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) x \ne 0 인 실수 x 에 대하여 \{f(x)\}^{2} f^{\prime}(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+1} (나) f(0)=0 \{f(1)\}^{3} 의 값은? ① 2\ln 2 ② 3\ln 2 ③ 1+2\ln 17번 t < 1 인 실수 t 에 대하여 곡선 y=\ln x 와 직선 x+y=t 가 만나는 점을 \text{P} 라 하자. 점 \text{P} 에서 x 축에 내린 수선의 발을 \text{H} , 직선 \text{PH} 와 곡선 y=e^{x} 이 만나는 점을 \text{Q} 라 할 때, 18번 그림과 같이 한 모서리의 길이가 6 인 정사면체 \text{OABC} 가 있다. 점 \text{C} 에서 모서리 \text{AB} 에 내린 수선의 발을 \text{H} 라 할 때, 선분 \text{HC} 를 n 등분하여 각 분점을 차례로 \text{P}_{0}(=\text{H} 19번 2 이상의 자연수 n 에 대하여 1 \le a < b \le n , 1 \le c < d \le n 을 만족하고, 좌표평면 위의 네 직선 x=a , x=b , y=c , y=d 로 둘러싸인 직사각형의 둘레의 길이가 2n 이 되도록 자연수 a , b , c , d 를 택한다. 다 20번 쌍곡선 x^{2}-y^{2}=1 위의 점 \text{P} 와 x 축 위의 점 \text{A}(t,\:0) 이 있다. \overline{\text{AP}} 의 최솟값을 f(t) 라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보기> ㄱ. f(0)=1 ㄴ. 방정식 f 21번 그림과 같이 길이가 2 인 선분 \text{AB} 를 지름으로 하는 반원 모양의 색종이가 있다. 호 \text{AB} 위의 점 \text{P} 에 대하여 두 점 \text{A} , \text{P} 를 연결하는 선을 접는 선으로 하여 색종이를 접는다. \angle\text{PAB 22번 정규분포 \text{N}(m,\:4) 를 따르는 확률변수 X 에 대하여 함수 g(k)=\text{P}(k-8 \le X \le k) 는 k=12 일 때 최댓값을 갖는다. 상수 m 의 값을 구하시오. 23번 다섯 개의 숫자 1 , 2 , 3 , 4 , 5 중에서 중복을 허용하여 3 개의 숫자를 뽑아 세 자리의 자연수를 만들 때, 홀수의 개수를 구하시오. 24번 곡선 x^{2}-y^{2}-y=1 위의 점 \text{A}(a,\: b) 에서의 접선의 기울기가 \dfrac{2}{15} a 일 때, b 의 값을 구하시오. 25번 함수 f(x)=\begin{cases} x+1&(x < 0)\\ e^{ax+b}&(x \ge 0)\end{cases} 은 x=0 에서 미분가능하다. f(10)=e^{k} 일 때, 상수 k 의 값을 구하시오. \left(\text{단},\:a\text{와}\:b\text{는 상수 26번 집합 X=\{1,\:2,\:3,\:4,\:5,\:6\} 에 대하여 X 에서 X 로의 함수 f(x) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 f(x) 는 일대일 대응이다. (나) 1 \le n \le 2 일 때, f(2 n) < f(n) < f(3 n) 이다. 함수 f(x) 의 27번 그림과 같이 한 변의 길이가 3 인 정사각형 \text{ABCD} 안에 중심각의 크기가 \dfrac{\pi}{2} 이고 반지름의 길이가 3 인 부채꼴 \text{BCA} 가 있다. 호 \text{AC} 위의 점 \text{P} 에서의 접선이 선분 \text{CD} 와 만나는 점 28번 그림과 같이 한 변의 길이가 4 인 정사각형 \text{ABCD} 의 내부에 선분 \text{AB} 와 선분 \text{BC} 에 접하고 반지름의 길이가 1 인 원 C_{1} 과 선분 \text{AD} 와 선분 \text{CD} 에 접하고 반지름의 길이가 1 인 원 C_{2} 29번 좌표공간에 평면 z=2 위의 원 C: x^{2}+y^{2}=1 을 밑면으로 하고 꼭짓점이 원점인 원뿔이 있다. 원 C 와 한 점 \text{P}(0,\:1,\:2) 에서만 만나는 평면 \alpha 가 이 원뿔과 만나서 생길 수 있는 도형 중 한 타원을 S 라 하자. 타원 S 의 30번 그림과 같이 길이가 2 인 선분 \text{AB} 위의 점 \text{P} 를 지나고 선분 \text{AB} 에 수직인 직선이 선분 \text{AB} 를 지름으로 하는 반원과 만나는 점을 \text{Q} 라 하자. \overline{\text{AP}}=x 라 할 때, S(x)