2024년 고3 7월 모의고사

1번 \left(2^{\sqrt{3} + 1}\right)^{2 \sqrt{3} -2} 의 값은? ① 8 \sqrt{2} ② 16 ③ 16 \sqrt{2} ④ 32 ⑤ 32 \sqrt{2} 2번 두 자연수 a , b 에 대하여 0 \le x \le 2 \pi 에서 정의된 함수 f(x) = a \sin (b x) + a 의 그래프가 직선 y = 2 와 서로 다른 네 점에서 만난다. a b 의 최솟값은? ① 4 ② 6 ③ 8 ④ 10 ⑤ 12 3번 자연수 n 에 대하여 다항식 (x + 1)^{n} 을 x(x-1) 로 나누었을 때의 나머지를 R_{n} (x) 라 하자. \sum_{n = 1}^{8} R_{n}(2) 의 값은? ① 1008 ② 1012 ③ 1016 ④ 1020 ⑤ 1024 4번 40 이하의 두 자연수 m , n 에 대하여 - \log_{\sqrt{2}} m + \log_{\frac{1}{2}} \left(4n + 6\right)^{-1} 의 값이 자연수가 되도록 하는 모든 순서쌍 (m, n) 의 개수는? ① 4 ② 5 ③ 6 ④ 7 ⑤ 8 5번 1^{3} -2^{3} + 3^{3} -4^{3} + \cdots + 19^{3} 의 값은? ① 3300 ② 3400 ③ 3500 ④ 3600 ⑤ 3700 6번 함수 f(x) 는 f \left(x\right) = {\begin{cases}1- \left\lvert x\right\rvert & \left(x \left(x-3\right) \ne 0\right)\\0 & \left(x \left(x-3\right) = 0\right)\en 7번 수직선 위를 움직이는 점 \text{P} 의 시각 t \left(t \ge 0\right) 에서의 위치 x 가 x = t^{4} -4t^{3} + 2kt 이다. 점 \text{P} 가 원점을 출발한 후 운동 방향을 두 번 바꾸도록 하는 정수 k 의 개수는? ① 1 ② 3 ③ 5 8번 넓이가 4 \sqrt{3} 이고 \angle {{\text{A}}} = \dfrac{\pi}{3} 인 삼각형 \text{ABC} 의 외접원의 반지름의 길이가 4 일 때, \overline{{{\text{AB}}}} + \overline{{{\text{BC}}}} + \overl 9번 함수 f(x) = x^{2} + a x + 1 에 대하여 집합 \left\{x | f \left(f \left(x\right)\right) = f \left(x\right),x\right. 는 실수 \left.\right\} 의 원소의 개수가 2 일 때, 양수 a 의 값은? ① 10번 실수 \theta 에 대하여 직선 y = x 와 곡선 y = x^{2} + 2x \sin \theta -\cos^{2} \theta 이 만나는 두 점 사이의 거리의 최댓값은? ① 2 \sqrt{2} ② 3 \sqrt{2} ③ 4 \sqrt{2} ④ 5 \sqrt{2} ⑤ 6 \ 11번 첫째항과 공차가 정수인 등차수열 \left\{a_{n}\right\} 에 대하여 수열 \left\{b_{n}\right\} 이 b_{n} = n^{2} \sin \left(\pi a_{n}\right) + n \cos \left(\pi a_{n}\right) + 1 \sum_{ 12번 수열 \left\{a_{n}\right\} 의 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 S_{n} 이라 할 때, 모든 자연수 n 에 대하여 S_{n} = 2 a_{n}-p n 이다. \sum_{k = 1}^{6} \dfrac{p + a_{k}}{a_{k} a_{k + 1}} = 3 일 13번 함수 f(x) = x^{3} + 6 x^{2} + 13 x + 8 의 역함수를 g(x) 라고 하자. 두 곡선 y = f(x) , y = g(x) 와 직선 y = -x + 8 로 둘러싸인 도형의 넓이는? ① 36 ② 40 ③ 44 ④ 48 ⑤ 52 14번 자연수 n 에 대하여 함수 y = \left\lvert 2^{\left\lvert x-n\right\rvert}-2n\right\rvert 의 그래프가 직선 y = 15 와 제 1 사분면에서 만나는 점의 개수를 a_{n} 이라 할 때, \sum_{n = 1}^{20} a_{n} 15번 실수 a , b , c , d 에 대하여 삼차함수 f(x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \int_{-1}^{1} {} f \left(x\right)dx = 0 (나) \int_{-1}^{1} {} xf \left(x\ 16번 다음 그림과 같이 삼차함수 f \left(x\right) = x^{3}-x^{2}-2x 의 그래프와 직선 y = kx 로 둘러싸인 도형의 넓이를 각각 S_{1} , S_{2} 라 하자. S_{2}-S_{1} = 18 일 때, 실수 k 의 값은? HML 원본 그림 ① \dfrac 17번 양수 a 에 대하여 함수 f(x) 를 f \left(x\right) = {\begin{cases}x^{2} -1 & \left(x < 1\right)\\a-a \left\lvert x-2\right\rvert & \left(x \ge 1\right)\end{cases}} 이라 18번 두 삼차함수 f(x) , g(x) 에 대하여 함수 h(x) = \begin{cases}\dfrac{f(x)}{g(x)} & (x \neq 2) \\3 & (x = 2)\end{cases} 가 실수 전체의 집합에서 연속이고 다음 조건을 만족시킨다. (가) \lim_{x\right 19번 최고차항의 계수가 1 인 삼차함수 f(x) 에 대하여 함수 g(x) 를 g \left(x\right) = \left\lvert f \left(x\right)\right\rvert -f' \left(x\right) 라 할 때, 두 함수 f(x) , g(x) 는 다음을 만족시킨다. 20번 함수 f(x) 를 f(x) = (x + 1)^{2}(x-1)^{2} 이라 하자. -1 \le x \le 1 인 모든 실수 x 에 대하여 f \left(x\right) \le f' \left(t\right) \left(x-t\right) + f \left(t\right) 를 만족 21번 모든 항이 자연수인 수열 \left\{a_{n}\right\} 이 다음 조건을 만족시킬 때, 모든 a_{1} 의 값의 합을 구하시오. (가) 모든 자연수 n 에 대하여 a_{n + 1} = {\begin{cases}a_{n} + 1 & \left(a_{n} \text{은} \t 22번 자연수 n 에 대하여 집합 \left\{x | x \le \log_{2} \left(x + n\right)\right. , x 는 자연수 \} 의 원소의 개수를 f(n) 이라 할 때, \sum_{n = 1}^{20} f \left(n\right) 의 값을 구하시오. 23번 다항함수 f , g 가 모든 실수 x , y 에 대하여 f \left(0\right) = 5 , f \left(x-g \left(y\right)\right) = \left(x + 4y^{2} -1\right)^{3} -3 을 만족시킬 때, 함수 h(x) = f(x)-g(x) 의 24번 실수 전체의 집합에서 도함수가 연속인 함수 f(x) 가 다음 조건을 만족시킬 때, \int_{0}^{4} f(x) d x 의 값을 구하시오. (가) 모든 실수 x 에 대하여 \left(f' \left(x\right) + 2\right) \left(f' \left(x\right) 25번 함수 f(x) = \dfrac{2^{x}}{2^{x} + \sqrt{2}} 에 대하여 수열 \left\{a_{n}\right\} 의 일반항이 a_{n} = f \left(\dfrac{1}{n}\right) + f \left(\dfrac{2}{n}\right) + f \left(