2020년 고3 7월 모의고사 (가형)

1번 4^{\log _{2} 3} 의 값은? ① 3 ② 6 ③ 9 ④ 12 ⑤ 15 2번 \tan\dfrac{4}{3}\pi 의 값은? ① -\sqrt{3} ② -1 ③ \dfrac{\sqrt{3}}{3} ④ 1 ⑤ \sqrt{3} 3번 수열 \left\{a_{n}\right\} 이 모든 자연수 n 에 대하여 \dfrac{3n-1}{n^{2}+1} < a_{n} <\dfrac{3n+2}{n^{2}+1} 를 만족시킬 때, \lim\limits_{n\to\infty} na_{n} 의 값은? ① 3 ② 4 ③ 5 ④ 4번 두 사건 A 와 B 는 서로 독립이고 \text{P}\left(A^{C}\right)=\text{P}(B)=\dfrac{2}{5} 일 때, \text{P}(A\cup B) 의 값은? \left(\text{단},\:A^{C}\text{은}\:A\text{의 여사건이다.}\righ 5번 두 양수 a , b 에 대하여 함수 f(x)=a \cos b x+3 이 있다. 함수 f(x) 는 주기가 4 \pi 이고 최솟값이 -1 일 때, a+b 의 값은? ① \dfrac{9}{2} ② \dfrac{11}{2} ③ \dfrac{13}{2} ④ \dfrac{15}{2} ⑤ 6번 \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^{2}+4x}{\ln \left(x^{2}+x+1\right)} 의 값은? ① 3 ② 4 ③ 5 ④ 6 ⑤ 7 7번 \overline{\text{AB}}=2 , \overline{\text{AC}}=\sqrt{7} 인 예각삼각형 \text{ABC} 의 넓이가 \sqrt{6} 이다. \angle \text{A}=\theta 일 때, \sin \left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\r 8번 수열 \left\{a_{n}\right\} 의 일반항이 a_{n}=2 n+1 일 때, \displaystyle \sum_{n=1}^{12} \dfrac{1}{a_{n} a_{n+1}} 의 값은? ① \dfrac{1}{9} ② \dfrac{4}{27} ③ \dfrac{5}{27} 9번 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 한 번 던져서 나온 두 눈의 수의 곱이 짝수일 때, 나온 두 눈의 수의 합이 짝수일 확률은? ① \dfrac{1}{12} ② \dfrac{1}{6} ③ \dfrac{1}{4} ④ \dfrac{1}{3} ⑤ \dfrac{5}{12} 10번 함수 f(x)=\tan 2x+\dfrac{\pi}{2} 의 그래프 위의 점 \text{P}\left(\dfrac{\pi}{8},\:f\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\right) 에서의 접선의 y 절편은? ① \dfrac{1}{2} ② \dfrac{3}{4} ③ 11번 수열 \left\{a_{n}\right\} 이 a_{1}=1 이고 모든 자연수 n 에 대하여 a_{n+1}=\begin{cases} 2^{a_{n}}&\left(a_{n} \le 1\right)\\ \log _{a_{n}}\sqrt{2}&\left(a_{n} > 1\right) 12번 x > 1 인 모든 실수 x 의 집합에서 정의되고 미분가능한 함수 f(x) 가 \sqrt{x-1} f^{\prime}(x)=3 x-4 를 만족시킬 때, f(5)-f(2) 의 값은? ① 4 ② 6 ③ 8 ④ 10 ⑤ 12 13번 두 함수 f (x) = 2 ^{x}+ 1 , g (x) = 2 ^{x + 1} 의 그래프가 점 \text{P} 에서 만난다. 서로 다른 두 실수 a , b 에 대하여 두 점 \text{A}(a,\: f (a)) , \text{B}(b,\: g (b)) 의 중점이 \text{P} 14번 확률변수 X 는 정규분포 \text{N}\left(m,\:2^{2}\right) , 확률변수 Y 는 정규분포 \text{N}\left(2m,\:\sigma^{2}\right) 을 따른다. \text{P}(X \le 8)+\text{P}(Y \le 8)=1 을 만족시키는 m 과 15번 두 함수 f(x) , g(x) 가 실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖고 g(x) 가 증가함수일 때, 함수 h(x) 를 h(x)=(f\circ g) (x) 라 하자. 점 (2,\:2) 가 곡선 y=g(x) 의 변곡점이고 \dfrac{h^{\prime\prime}(2)}{f^{\ 16번 한 개의 주사위를 세 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례로 a , b , c 라 하자. a+b+c 의 값을 확률변수 X 라 할 때, 다음은 확률변수 X 의 평균 \text{E}(X) 를 구하는 과정이다. 3 \le a+b+c \le 18 이므로 확률변수 X 가 가질 수 있는 값 17번 등차수열 \left\{a_{n}\right\} 에 대하여 S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k} , T_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right| 라 할 때, S_{n} , T_{n} 은 다음 조건을 18번 그림과 같이 한 변의 길이가 8 인 정삼각형 \text{A} _{ 1 } \text{B} _{ 1 } \text{C} _{ 1 } 의 세 선분 \text{A} _{ 1 } \text{B} _{ 1 } , \text{B} _{ 1 } \text{C} _{ 1 } , \text{C 19번 실수 전체의 집합에서 f(x) > 0 이고 도함수가 연속인 함수 f(x) 가 있다. 실수 전체의 집합에서 함수 g(x) 가 g(x)=\displaystyle\int _{0}^{x}\ln f(t) dt 일 때, 함수 g(x) 와 g(x) 의 도함수 g^{\prime}(x) 는 다 20번 그림과 같이 원탁 위에 1 부터 6 까지 자연수가 하나씩 적혀 있는 6 개의 접시가 놓여 있고 같은 종류의 쿠키 9 개를 접시 위에 담으려고 한다. 한 개의 주사위를 던져 나온 눈의 수가 적혀 있는 접시와 그 접시에 이웃하는 양 옆의 접시 위에 3 개의 쿠키를 각각 1 개씩 담 21번 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f (x) = \dfrac{4 x ^{2}}{x ^{2}+ 3} 에 대하여 f (x) 의 역함수를 g (x) 라 할 때, 함수 h (x) 를 h (x) = f (x)- g (x)\:(0 < x < 4) 라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 22번 등비수열 \left\{a_{n}\right\} 에서 a_{2}=6 , a_{5}=48 이다. a_{6} 의 값을 구하시오. 23번 \left(x^{2}+\dfrac{2}{x}\right)^{6} 의 전개식에서 x^{6} 의 계수를 구하시오. 24번 확률변수 X 가 이항분포 \text{B}\left(36,\:\dfrac{2}{3}\right) 를 따른다. \text{E}(2X-a)=\text{V}(2X-a) 를 만족시키는 상수 a 의 값을 구하시오. 25번 좌표평면 위를 움직이는 점 \text{P} 의 시각 t\:(t > 0) 에서의 위치 (x,\: y) 가 x=3t-\dfrac{2}{\pi}\cos\pi t , y=6\ln t-\dfrac{2}{\pi}\sin\pi t 이다. 시각 t=\dfrac{1}{2} 에서 점 \text{ 26번 삼각형 \text{ABC} 에 대하여 \angle\text{A}=\alpha , \angle\text{B}=\beta , \angle\text{C}=\gamma 라 할 때, \alpha , \beta , \gamma 가 이 순서대로 등차수열을 이루고 \cos\alpha , 2\ 27번 k > 1 인 실수 k 에 대하여 두 곡선 y = \log _{ 3k } x , y = \log _{ k } x 가 만나는 점을 \text{A} 라 하자. 양수 m 에 대하여 직선 y = m ( x - 1 ) 이 두 곡선 y = \log _{ 3k } x , y = \log _ 28번 집합 X=\{1,\:2,\:3,\:4,\:5,\:6\} 에 대하여 함수 f: X \to X 중에서 다음 조건을 만족시키는 함수 f 의 개수를 구하시오. (가) f(3) \times f(6) 은 3 의 배수이다. (나) 집합 X 의 임의의 두 원소 x_{1} , x_{2} 에 대 29번 그림과 같이 길이가 4 인 선분 \text{AB} 를 지름으로 하고 중심이 \text{O} 인 원 C 가 있다. 원 C 위를 움직이는 점 \text{P} 에 대하여 \angle\text{PAB} = \theta 라 할 때, 선분 \text{AB} 위에 \angle\text{AP 30번 함수 f(x)=\sin \dfrac{\pi}{2} x 와 0 이 아닌 두 실수 a , b 에 대하여 함수 g(x) 를 g(x)=e^{a f(x)}+b f(x)\:(0 < x < 12) 라 하자. 함수 g(x) 가 x=\alpha 에서 극대 또는 극소인 모든 \alpha 를 작은