2019년 고3 7월 모의고사 (가형)

1번 두 벡터 \overrightarrow{a}=(3 ,\: -2) , \overrightarrow{b}=(2,\: -6) 에 대하여 벡터 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} 의 모든 성분의 합은? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5 2번 \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^{3}+2x}{e^{3x}-1} 의 값은? ① \dfrac{1}{3} ② \dfrac{1}{2} ③ \dfrac{2}{3} ④ \dfrac{5}{6} ⑤ 1 3번 좌표공간의 두 점 \text{A} ( 1,\:0,\:2 ) , \text{B} ( 2,\:0,\:a ) 에 대하여 선분 \text{AB} 를 1 : 2 로 외분하는 점이 원점일 때, a 의 값은? ① 3 ② 4 ③ 5 ④ 6 ⑤ 7 4번 두 사건 A , B 가 서로 독립이고 \text{P}(A)=\dfrac{2}{3} , \text{P}(A\cup B)=\dfrac{7}{9} 일 때, \text{P}(B) 의 값은? ① \dfrac{2}{9} ② \dfrac{1}{3} ③ \dfrac{4}{9} ④ \dfrac 5번 부등식 \log _{3}(x-3)+\log _{3}(x+3) \le 3 을 만족시키는 모든 정수 x 의 값의 합은? ① 15 ② 17 ③ 19 ④ 21 ⑤ 23 6번 한 개의 주사위를 5 번 던져서 나오는 다섯 눈의 수의 곱이 짝수일 확률은? ① \dfrac{23}{32} ② \dfrac{25}{32} ③ \dfrac{27}{32} ④ \dfrac{29}{32} ⑤ \dfrac{31}{32} 7번 두 점 \text{F}(5,\: 0) , \text{F}^{\prime}(-5 ,\: 0) 을 초점으로 하는 타원이 있다. 점 \text{F}^{\prime} 을 지나고 기울기가 양수인 직선과 타원의 교점을 각각 \text{A} , \text{B} 라 하자. 삼각형 \text{ 8번 곡선 xy-y^{3}\ln x=2 에 대하여 x=1 일 때, \dfrac{dy}{dx} 의 값은? ① 0 ② 2 ③ 4 ④ 6 ⑤ 8 9번 함수 f(x)=e^{x^{3}+2x-2} 의 역함수를 g(x) 라 할 때, g^{\prime}(e) 의 값은? ① \dfrac{1}{e} ② \dfrac{1}{3e} ③ \dfrac{1}{5e} ④ \dfrac{1}{7e} ⑤ \dfrac{1}{9e} 10번 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 f(x) 가 \displaystyle\int _{a}^{x}f(t)dt=(x+a-4)e^{x} 을 만족시킬 때, f(a) 의 값은? \left(\text{단},\:a\text{는 상수이다.}\right) ① e ② e^{2} ③ e^{3} ④ 11번 양수 k 에 대하여 함수 f ( x ) = 3 ^ { x - 1 } + k 의 역함수의 그래프를 x 축의 방향으로 k ^ { 2 } 만큼 평행이동시킨 곡선을 y = g ( x ) 라 하자. 두 곡선 y = f ( x ) , y = g ( x ) 의 점근선의 교점이 직선 y = 12번 실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 f(x) , g(x) 에 대하여 함수 h(x) 를 h(x)=(g\circ f) (x) 라 할 때, 두 함수 f(x) , h(x) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) f(1)=2 , f^{\prime}(1)=3 (나) \lim\limits 13번 주머니에 1 , 2 , 3 , 4 의 숫자가 하나씩 적혀 있는 4 개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 2 개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 숫자의 합이 소수이면 1 개의 동전을 2 번 던지고, 소수가 아니면 1 개의 동전을 3 번 던진다. 동전의 앞면이 14번 함수 f ( x ) = \dfrac { 2x - 2 } { x ^ { 2 } - 2x + 2 } 에 대하여 곡선 y = f ( x ) 와 x 축 및 y 축으로 둘러싸인 영역을 A , 곡선 y = f ( x ) 와 x 축 및 직선 x = 3 으로 둘러싸인 영역을 B 라 하자. 영 15번 \tan \alpha =-\dfrac{5}{12}\left(\dfrac{3}{2}\pi < \alpha < 2\pi\right) 이고 0 \le x < \dfrac{\pi}{2} 일 때, 부등식 \cos x \le \sin (x+\alpha ) \le 2\cos x 를 만족시키 16번 확률변수 X 가 평균이 m , 표준편차가 \sigma 인 정규분포를 따를 때, 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(t) 는 f(t) = \text{P}(t \le X \le t + 2) 이다. 함수 f(t) 는 t = 4 에서 최댓값을 갖고, f(m) = 0.3413 이다. 17번 그림과 같이 길이가 2 인 선분 \text{AB} 를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 \text{AB} 위의 점 \text{P} 에 대하여 \overline { \text{QB} } = \overline { \text{QP} } 를 만족시키는 반원 위의 점을 \text{Q} 18번 앞면에 숫자 1 , 2 , 3 , 4 , 5 가 하나씩 적혀 있는 5 장의 카드가 상자에 들어 있다. 이 상자에서 임의로 3 장의 카드를 한 장씩 꺼내고, 꺼낸 순서대로 카드의 뒷면에 숫자 1 , 2 , 3 을 차례로 적는다. 이 3 장의 카드 중 앞뒤 양쪽 면에 서로 다른 숫 19번 그림과 같이 \overline{\text{AB}}=\overline{\text{AD}} 이고 \overline{\text{AE}}=\sqrt{15} 인 직육면체 \text{ABCD}-\text{EFGH} 가 있다. 선분 \text{BC} 위의 점 \text{P} 와 선분 \te 20번 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f ( x ) 가 모든 실수 x 에 대하여 f ( 1 + x ) = f ( 1 - x ) , f ( 2 + x ) = f ( 2 - x ) 를 만족시킨다. 실수 전체의 집합에서 f ^{\prime } ( x ) 가 연속이고, \display 21번 0 < t < 1 인 실수 t 에 대하여 직선 y=t 와 함수 f(x)=\sin x\left(0 < x < \dfrac{\pi}{2}\right) 의 그래프가 만나는 점을 \text{P} 라 할 때, 곡선 y=f(x) 위의 점 \text{P} 에서 그은 접선의 x 절편을 g(t 22번 \\_{5}\text{P}_{2}\times\\_{5}\text{C}_{2} 의 값을 구하시오. 23번 \sec \theta =10 일 때, \tan ^{2}\theta 의 값을 구하시오. 24번 이항분포 \text{B} ( 72,\: p ) 를 따르는 확률변수 X 에 대하여 \text{E}( 2X - 3 ) = 45 일 때, \text{V} ( 2X - 3 ) 의 값을 구하시오. 25번 좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 t\: ( t > 0 ) 에서의 위치 \text{P} ( x,\: y ) 가 x = t + \ln t , y = \dfrac { 1 } { 2 } t ^ { 2 } + t 이다. \dfrac { dx } { dt } = \dfrac { d 26번 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) f(1)=0 (나) 0 이 아닌 모든 실수 x 에 대하여 \dfrac{xf^{\prime}(x) - f(x)}{x^{2}}=xe^{x} 이다. f(3)\times f(-3) 의 값을 구하시오. 27번 어느 수영장에 1 번부터 8 번까지 8 개의 레인이 있다. 3 명의 학생이 서로 다른 레인의 번호를 각각 1 개씩 선택할 때, 3 명의 학생이 선택한 레인의 세 번호 중 어느 두 번호도 연속되지 않도록 선택하는 경우의 수를 구하시오. contenthub figure 28번 그림과 같이 두 점 \text{F} , \text{F}^{\prime} 을 초점으로 하는 쌍곡선 \dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{16}=1 의 제 1 사분면 위의 점을 \text{P} 라 하자. 삼각형 \text{PF}^{\prime}\text{F} 에 29번 중심이 \text{O} 이고 반지름의 길이가 1 인 원이 있다. 양수 x 에 대하여 원 위의 서로 다른 세 점 \text{A} , \text{B} , \text{C} 가 x\overrightarrow{\text{OA}}+5\overrightarrow{\text{OB}}+3\ov 30번 x=a\:(a > 0) 에서 극댓값을 갖는 사차함수 f(x) 에 대하여 함수 g(x) 가 g(x)=\begin{cases}\dfrac{1-\cos \pi x}{f(x)}&(f(x) \ne 0)\\\dfrac{7}{128}\pi^{2}&(f(x)=0)\end{cases} 일 때,